Эклектические экскурсы (стр. 7 )

Не подлежит сомнению, что эта дискуссия оказалась весьма плодотворной, породив целый ряд новых направлений в математике – подобно тому как это имело место в истории последовательных приближений к доказательству Великой теоремы Ферма. Однако столь же несомненно, что "дурная бесконечность" – и это видно из самого ее названия – не удовлетворяет совершенно обязательному для любых математических конструкций эстетическому критерию.

В дальнейшем принимается гипотеза, что суперпозиция мультипликативной и аддитивной композиций является не только необходимой, но и достаточной, т. е. а) не существует бинарных операций, порождающих композиции, отличные от аддитивной и мультипликативной (во всех возможных вариантах, например, некоммутативных и т. п.); б) каждая n-арная, n > 2, операция представима в виде суперпозиции бинарных операций.

Если трактовать математические конструкции как отражения некоторых материальных референтов, причина антиэстетического впечатления от "дурной бесконечности" становится очевидной. В природе – ни в микромире, ни в сколь угодно дальнем космосе, ни в человеческой психике – такой бесконечности не существует. Все природные системы организуются по принципу гиперцикла. Однако этот эмпирический факт естествознания не нашел никакого отражения в ДТМ. Сказанное относится и к построенной в нашей монографии [1, Приложение 5] конструкции фрактала числовых систем (ФЧС), несмотря на то, что идея топологии гиперцикла – одна из основных в указанной монографии.

Однако конструкция ФЧС (который представляет собой бесконечную, в том числе трансфинитную, или конечную, в зависимости от дополнительных ограничений, систему числовых систем – от натуральных до гипердействительных, по Робинсону и далее, чисел) – предоставляет возможность гиперциклизации. Правда, не сама по себе, а в сочетании с другой основополагающей идеей той же книги – идеей односторонней поверхности как основы топологии пространства-времени. Для дальнейшего необходимо вспомнить, что отличительной чертой односторонней поверхности является то, что ее самотождественное преобразование определено как обход нормальным вектором на 720˚ (4p).

Определение ФЧС вместе с постулатом об односторонней поверхности с необходимостью приводит к некоторому уравнению нормировки, определяющему гиперциклизацию системы трансфинитных мощностей и справедливому для каждой трансфинитной подпоследовательности уровней ФЧС. Такое уравнение должно представлять собой нормировку к величине 4p. Кроме того, оно должно учитывать все порядки возрастания трансфинитной величины À. Примененная Кантором процедура (2À…), очевидно, не удовлетворяет второму требованию, т. к., во-первых, определена только на множествах с мультипликативной композицией, и, во-вторых, даже на таких множествах определена и более сильная процедура, чем возведение в степень, – факториал (!). В первом приближении для случая мультипликативной композиции искомую нормировку можно представить в виде

ÀÀ! = 4pn (1),

где n – натуральное число циклов на данном уровне гиперцикла, и

À! = П ò М(m) dm (2),

где, в свою очередь, М – мощность числового множества на данном уровне ФЧС (т. е. мощность множества натуральных, рациональных, действительных и т. д. чисел); m – трансфинитное обобщение меры Лебега.

Уже на этом этапе такая нормировка по смыслу аналогична парадоксу Гиббса. В данном случае скачкообразное возрастание энтропии происходит за счет интерференции информации о мощности множеств, содержащейся в кардиналах.

Данная модель ДТМ отличается тем, что мощность множества кардиналов в ней строится в соответствии с усиленной процедурой Кантора "множество всех подмножеств" и, соответственно, индексы при À в ней могут принимать не только натуральные, но и рациональные, действительные и гипердействительные разных рангов значения. Следует осознать однако, что такое построение модели означает не простое отрицание, но диалектическое снятие ОКГ. ОКГ оказывается справедливой в частном случае данной модели, и тем самым эта модель и доныне существовавшая ДТМ находятся в отношениях соответствия по Нильсу Бору. При такой трактовке ОКГ волей-неволей приходится обратиться к разработке [2], согласно которой гипердействительные числа по Робинсону введены не вполне корректно, и вместо них вводится понятие неопределенных чисел, обладающих свойством «слипания», т. е. бесконечного сближения на числовой оси. В этом случае ФЧС приобретает свойства массового (в некоторых работах – массивного) фрактала.

Однако внимательное рассмотрение парадоксов Бурали-Форти и Кантора указывает на необходимость расширить вышеизложенные рассуждения на случаи аддитивной и смешанной композиций.

Парадокс Бурали-Форти обычно излагается следующим образом.

«Этот парадокс возникает при рассмотрении множества всех ординальных (или порядковых) чисел. Любое множество таких чисел, расположенных в возрастающем порядке, представляет собой вполне упорядоченное множество и, следовательно, само характеризуется некоторым ординальным числом. Рассмотрим теперь множество всех ординальных чисел, расположенных в возрастающем порядке, то есть взятое в качестве вполне упорядоченного. Согласно определению, это множество как множество всех ординальных чисел должно включать в себя все возможные порядковые числа, а, с другой стороны, само существование этого множества всех порядковых чисел как вполне упорядоченного ведет к появлению нового порядкового числа, характеризующего его тип упорядочения, причем такого, которое не входит в это множество. Но тогда оно не является множеством всех порядковых чисел! Иными словами, если взять множество всех  порядковых чисел, как вполне упорядоченное, обозначить его порядковое (ординальное) число через Р и включить теперь само это ординальное число Р в множество всех порядковых чисел, то обнаруживается, что порядковое число, характеризующее это множество всех порядковых чисел, должно быть большим Р, а именно (Р + 1). То есть, оно оказывается новым и отличным от всех ранее собранных в одном множестве порядковых чисел. По условию это число должно входить во множество всех порядковых числе, и в это же время оно там не оказывается. Если же мы его включим во множество всех порядковых чисел,  то вслед за этим возникает новый порядковый тип для расширенного таким образом множества порядковых чисел. Таким образом, конструкция множества всех порядковых чисел оказывается внутренне противоречивой и логически нереализуемой».

Однако такая его трактовка не вполне правомочна. В самом деле, здесь речь идет о множестве {О} всех ординалов, т. е. суверенных объектов (как и в случае множества М всех множеств, см. ниже), а не о множестве производных, порожденных от {О} (в приведенном ниже случае – oт М) объектов. Поэтому замыкание этого множества, или его точная верхняя грань, является его собственным элементом и множество {О} замкнуто.

Парадокс Кантора состоит в следующем. «Рассмотрим множество всех множеств, обозначив его через М. Мощность такого множества должна быть больше мощности любого множества, так как по условию это множество образовано всеми возможными множествами, какие только могут быть. Но если есть такое универсальное множество (множество всех множеств), то существует и множество всех подмножеств данного множества. А оно согласно теореме Кантора относительно мощности исходного множества всех подмножеств любого данного множества, должно обладать мощностью большей мощности исходного множества. А именно, теорема Кантора гласит, что мощность С множеств всех подмножеств любого множества мощности n больше n и равна 2 в степени n: С>n и С = 2 в степени n».

Эту трактовку необходимо скорректировать следующим образом. Во множестве всех подмножеств М само М есть несобственный элемент, тогда как во множестве всех множеств – собственный. При этом М как элемент самого себя представляет собой, по смыслу, замыкание множества всех своих подмножеств (последнее, тем самым, является открытым). То, что мощность М меньше мощности множества всех его подмножеств, означает редукцию (вырождение) мощности при предельном переходе к замыканию.

Таким образом, замкнутый субуниверсум ординалов и открытый субуниверсум кардиналов определяют топологию целостного Универсума.

Из Канторовой трактовки множеств кардинальных и ординальных чисел видно, что первое из них целесообразно рассматривать как множество с мультипликативной композицией, а второе – с аддитивной. Однако структура «обычных» числовых множеств – структурных уровней ФЧС – имеет в качестве своих характеристик как кардиналы, так и ординалы, и в этом смысле композиция Универсума является смешанной.

Для случая аддитивной композиции воспользуемся известным еще в средние века понятием философской суммы (Ξ) числа – процедуры, представляющей собою аддитивный аналог факториала. Например, Ξ(5) = 1+2+3+4+5 = 15). Процедуре (Ξ), равно как и процедуре (!), можно придать смысл процедуры Кантора “множество всех подмножеств” Для этого нужно лишь реализовать процедуры (Ξ) и (!) не только на последовательных цепочках чисел, но на всех их упорядоченных комбинациях. Отсюда видно, что процедура Кантора может быть реализована как на аддитивной, так и на мультипликативной композиции. Вообще, можно построить процедуру Кантора на основе любой n-арной операции (Ξ или!). Отсюда полная форма уравнения (1) :

ÀÃ(À) = 4pn (1а),

где символ Ã пробегает всю совокупность процедур (как конечных, так и трансфинитных, а также счетно-бесконечных, если таковые существуют) типа (Ξ) и (!), порожденных всеми возможными бинарными операциями.

Заметим также следующее. Множество, на котором введена процедура (Ξ) и/или (!), можно разбить на смежные классы относительно этих процедур различными способами. Например, смежными классами являются классы чисел, результат процедуры (Ξ) или (!) для которых равен четному или нечетному числу; простому или составному числу, и т. д. После такого разбиения, к числовым множествам с процедурами (Ξ) и/или (!) становится приложимой теория мультиалгебраических систем [3].