Эклектические экскурсы (стр. 3 )

Восприятие антиномии как абсурда и потому как доказательства ошибочности исходной посылки и, следовательно, правильности посылки противоположной вообще пронизывает всю математику красной нитью в виде системы доказательств ad absurdum. Хорошо известно, что любое утверждение, которое вообще можно доказать, можно доказать от противного. Например, в школьных учебниках геометрии обычно именно от противного доказывают, что сумма внутренних углов треугольника равна 180о. Но в отношении этой теоремы любой математик, да и вообще любой образованный человек прекрасно сознает, что она справедлива только при наличии 5-й аксиомы Евклида, тогда как без этой аксиомы в сферической геометрии Римана сумма углов больше 180о, а в седловидной геометрии Лобачевского – меньше. Таким образом, в полном соответствии с теоремой Геделя, «неразрешимая» антиномия, доказывающая теорему о сумме углов треугольника на плоскости, прекрасно разрешается, если мы, отказавшись от 5-й аксиомы Евклида, тем самым вводим понятие кривизны поверхности, т. е. выходим за пределы плоскости. Совершенно очевидно, что и любая другая теорема (вместе с ее доказательством и венчающей его антиномией) имеет свою ограниченную область определения.

Вообще, антиномии встречаются на каждом шагу не только в метаматематике, но и в самой что ни на есть позитивной, «работающей» науке. Однако же, почему-то никто из этого не делает выводов, что всё естествознание, вся психология, вся социология и т. п. есть бред сумасшедшего. Почему же? Да потому, что и в позитивной науке, и в философии давно известен способ эффективного разрешения антиномий.

* * *

Среди физиков, как известно, чуть ли не со времен Ньютона бытует шутка о том, что «самое слабое место в механике – сила, а самое темное место в оптике – свет». Когда эта шутка родилась, ее смысл был загадочным. Сегодня же, «стоя на плечах гигантов», мы хорошо понимаем, что фигурирующие в ней ситуации в механике и оптике суть не более чем частные случаи теоремы Геделя. И это еще раз подтверждает тот тезис, что «в каждой шутке есть доля шутки». Продолжая в том же духе, следует заметить кстати, что самое нéмощное место теории множеств – мощность. Да не просто мощность, а бесконечная. И этот факт есть блистательная бенефиция законов диалектической логики, всех трех вместе и на нескольких гносеологических уровнях одновременно.

Что же такое диалектическая логика? Как явствует из самих уже названий ее трех основных законов [1 – переход количественных изменений в качественные; 2 – единство и борьба противоположностей; 3 – отрицание (на этапе становления с индексом j - отрицание предшествующего этапа становления с индексом j-1) и отрицание отрицания (как диалектическое снятие этапа j-1 на этапе j+1)], это – раздел логики, изучающий способы разрешения антиномий, т. е. дилемм, противоречий вида , которые в их абсолютном смысле неразрешимы по определению. Поэтому инструменты диалектической логики не могут быть применены к Абсолюту (Богу) в его внутренней сущности, а применяются лишь к Его тварным проявлениям. Алгоритм диалектического разрешения антиномий гомеоморфен алгоритму раскрытия неопределенностей типа 0∙0, ∞∙∞ и т. п., который изложен на первых страницах любого курса математического анализа. В позитивной науке он реализуется в форме принципа дополнительности Нильса Бора и его обобщений, количественным выражением которых являются уравнения, изоморфные соотношению неопределенностей Вернера Гейзенберга.

В наше время уже известно, что подобные соотношения имеют место не только между привычными физическими величинами вроде импульса и координаты, но и между топологическими и причинностными характеристиками самых разнообразных пространств, в том числе семантических [2 – 5]. Более того, предприняты попытки определить обобщенные количественные меры топологии и причинности [3, 5]. Эти меры в своем изначальном варианте едва ли могут быть применены напрямую к анализу диагональной процедуры Кантора, а потому их подробное рассмотрение выходит за рамки предмета данной статьи. Однако сам факт возможности конструирования таких мер показывает, что и для этого случая такие меры неизбежно существуют.

1.  Соотношение неопределенностей как формализованная антиномия

В обобщенной записи соотношения неопределенностей , взятой в абсолютном смысле, величины a и b представляют собой логически изолированную пару, в которой , т. е. соотношение приобретает вид . В самом деле, с точки зрения классической бинарной логики, в логически изолированной паре сам факт различия, не-тождества между объектами (высказываниями) a и b означает, что первое из них отрицает второе и наоборот. В частности, в обычном соотношении Гейзенберга, если координата частицы определена с бесконечной точностью, то импульс может принимать любые значения от -∞ до +∞, и наоборот. Таким образом, каждый из символов левой части приобретает значение , т. е. выражение соотношения неопределенностей превращается в формальную запись антиномии.

Замечание 1. Последнее утверждение верно лишь в том случае, если события не связаны причинно-следственной связью и временной последовательностью, но представляют собой «комок событий» в смысле .

Эта антиномия может быть раскрыта путем перевода из абсолютного смысла в относительный, ситуативный, путем раскрытия прямого произведения классических неопределенностей: (0∙∞) × (∞∙0). Раскрыть такую неопределенность, как и всякую антиномию, «внутри себя» принципиально невозможно, в силу теорем Геделя и Тарского (о последней см. в разделе 2). Такое раскрытие требует выхода за пределы логически изолированной пары и дифференцирования теоретических или экспериментальных кривых изменения величин a и b в зависимости от некоторых сторонних переменных.

Замечание 2. Сказанное здесь об антиномиях вообще в полной мере относится к такому частному случаю как самореферентные высказывания, в том числе пресловутый «парадокс лжеца». Этот парадокс является таковым в том и только в том случае, если а) высказывание «Я - лжец» принимается в абсолютном смысле, т. е. предполагается, что оно означает: «Я лгу во всех случаях без исключения, я в принципе неспособен говорить правду»; б) утверждение о ложности высказывания «Я - лжец» и утверждение об истинности того же высказывания составляют логически изолированную пару, т. е. для их трактовки не могут быть привлечены никакие высказывания, не содержащиеся в них самих. Как только хотя бы одно из этих двух условий нарушается, парадокс лжеца истаивает как дым.

Наконец, богословские антиномии принципиально неразрешимы, поскольку в каждой из них как тезис, так и антитезис пребывают в Абсолюте, т. е. по определению составляют логически изолированную пару.

2.  Примеры дополнительности вне традиционной квантовой механики

Настоящий раздел основан на статьях трех авторов – [2], [3] и [4]. Эти работы выбраны, исходя из тех же соображений, что и статья А. Зенкина [1], т. е. не по причине их уникальности, а по причине типичности.

проанализировал ряд пар дополнительных величин в физике, биологии и психологии. В анализе физических закономерностей особенно хорошо просматривается, что отношения дополнительности между классическими величинами имеют все же квантовомеханическую природу. В частности, , следуя материалу знаменитых лекций о косвенных измерениях , отмечает такие пары взаимно дополнительных (и, значит, связанных некоторым аналогом соотношения неопределенности) величин как резкость пространственной локализации волны и мера ее монохроматичности, а также длительность сигнала во времени и мера его монохроматичности. Имеют место соотношения: ; , где x – геометрический размер (длина) волнового пакета; k – волновое число; t – длительность сигнала; ν – его частота. Он также показывает, что от этого соотношения, в его пространственной и временной формах, пользуясь понятием волны де Бройля, легко перейти к общеизвестным формулам соотношения неопределенностей Гейзенберга: .

В отношении биологии, цитирует статьи Н. Бора, в которых высказана мысль о дополнительности физико-химического анализа живого субстрата и наблюдения свойств его как целостной системы; в частности, полное физико-химическое описание биохимических процессов очевидным образом требует условий наблюдения, несовместимых с жизнью.

В области психологии отмечены отношения дополнительности, например, между аналитическим мышлением и эмоциональными реакциями, которые альтернативны не только на уровне поведения, но и на уровне реализующих их нервных структур.

прежде всего обращает внимание читателя на теорему Тарского, согласно которой диагональная функция D (функция нумерации высказываний) и множество U всех истинных высказываний не могут быть одновременно определены в одной и той же теории. ставит вопрос об аналоге соотношения неопределенностей в метаматематике: , тем самым формулируя теорему о том, что при наличии меры неопределенности D и U могут быть определены одновременно.