Эклектические экскурсы (стр. 6 )

Возьмем, например, центральное понятие НА – понятие гипердействительного числа. Во-первых, определение гипердействительного числа как «актуального бесконечно-малого» вполне соответствует методологии Лейбница, но заведомо некорректно с точки зрения методологии Ньютона [2] и, далее, Эйлера, согласно которой бесконечно-малая есть переменная, а не постоянная (фиксированная) величина, каковой является каждое конкретное число, не исключая и гипердействительного. Кстати, в своих учебных курсах неоднократно предупреждал, как опасно об этом забывать и к каким нелепостям можно придти, если забыть. Во-вторых, пояснения (вроде того, что содержится в книге Успенского [3]) по поводу «рассматривания числовой оси под микроскопом» донельзя наивны даже для популяризации. В самом деле, классическая бесконечно-малая потому так и называется, что достигает сколь угодно малых значений, и именно поэтому множества не только действительных, но и рациональных чисел везде плотны. Поэтому утверждение, что некое действительное число может уместиться между «соседними» рациональными, а некое гипердействительное – между двумя «соседними» действительными совершенно бессмысленно. И ни в какой «супермикроскоп» эти «промежутки» между «соседними» числами не высмотришь, поскольку их просто не существует в природе, равно как и соседних рациональных (а тем более действительных или гепердействительных) чисел. Совсем не зря некоторые авторы [4, 5] подчеркивают, что гипердействительное расширение обычной действительной числовой оси требует некоторого явления конденсации (слипания) чисел. Кстати, аналогичного явления требует и действительное расширение множества рациональных чисел, то есть классическая диагональная процедура Кантора, равно как и гипердействительные расширения второго и следующих порядков). Слабым намеком на явление конденсации чисел является дедекиндово сечение и вообще понятие точной верхней и точной нижней грани. Однако конденсация (слипание) чисел – понятие хотя и интригующее, но явно противоречащее принципу бритвы Оккама, а потому без него лучше бы обойтись.

Обойтись же без него можно только одним способом: положить, что при переходе к гипердействительным числам уменьшается не расстояние между соседними числами, каковое понятие бессмысленно для везде плотного числового множества, а нечто иное, не выходящее за пределы уже существующего пространства понятий.

Решение вопроса о том, какой именно параметр уменьшается при переходе, затруднительно именно своей крайней простотой и тривиальностью, ибо труднее всего заметить привычное. В самом деле, при переходе

(1)

объем понятия числа возрастает, а степень дифференциации смысла понятия уменьшается(Примечание). В дальнейшем мы полагаем, что в семантическом пространстве всегда существует нормировка

(2),

т. е. существуют такие меры объема и степени дифференциации понятия, что их прямое произведение равно единице; NS = “number system”= =. По определению, естественно положить

(3),

причем множество с мощностью, соответствующей , порождается системой, состоящей из множества с мощностью и диагональной процедуры над (2n+1)-адическими Канторовыми подмножествами этого последнего множества.

Далее, опять же по определению,

(4).

Понятно также, что

(5).

Замечание 1. С философской точки зрения, формулы (4) и (5) в совокупности означают, что пределом роста мощности числовых множеств является Непроявленное, т. е. Абсолют.

Исходя из мощности множества гипердействительных чисел, определенной Робинсоном [1] как , и принимая обобщенную континуум-гипотезу, для -окрестности действительного числа α логично положить:

(6),

где Θ с индексами заменяют соответствующие интегралы, и при этом

(7),

причем Θ0 соответствует интегралу по указанной в (6) сумме окрестностей действительного числа α на действительной числовой прямой, т. е. обычной действительной ε-окрестности действительного числа α.

Формально экстраполируя (7), получаем

(7а),

причем отрицательные индексы при א можно интерпретировать лишь единственным способом, а именно как индексы кардиналов, соответствующих отрицательным мощностям [8]. Элементы, недостающие в א по сравнению с Θ, как лакуны, обусловленные семантической нормировкой (1).

Механизмы, описанные в других наших заметках [5, 8, 9], обеспечивают замыкание шкал по типу редукции трансфинитности. Однако в этом процессе имеется «зазор» в 2 шага между шкалами Θ и א. Этот «зазор», несомненно, принципиально важен как для чистых математических построений, так и для физических приложений, и должен составить предмет отдельного исследования.

Примечание Этот аспект проблемы до сих пор не столько неизвестен, сколько хорошо забыт или плохо понят. В самом деле, операции А. Робинсона над пространством моделей изоморфны соответствующим операциям над семантическим пространством, просто описаны в иных терминах. Кроме того, родственные идеи развиты [10, 11] под названием «Принципа семантической границы». В данном случае семантические границы во фрактале числовых систем совпадают с границами структурных уровней фрактала.

Литература

1.  Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры.- Пер. с англ.- М.: Наука, 1967.- С. 321-353.

2.  , , Кутателадзе анализ.- Новосибирск: Изд-во Ин-та математики.- 2006.- 536 с.

3.  Успенский такое нестандартный анализ?- М.: Наука, 1987.- 128с.

4.  Новая Каббала http://biozot. boom. ru/mathem/mathem2.htm

5.  Орловский числовых множеств и конденсация чисел // В данном сборнике.- С.36.

6.  Davis G., Hu Thian-Yu The sructure of the intersection of two middle third Kantor sets // Publ. Math., Barc.- 1995.- V.39, No. 1.- P. 43 – 60.

Игудесман размерность пересечения стандартных канторовых множеств // Известия ВУЗ.- Математика.- 2002.- № 11.- С. 32-35. Орловский с отрицательной мощностью // В данном сборнике.- С. . Орловский , время и редукция трансфинитности // В данном сборнике.- С. . Головинский анализа топологии коммутационных схем электрических сетей // Электричество.- 2005.- № 3.- С. 10-18. Головинский операций в многоуровневых дискретных моделях электрических сетей // Электронное моделирование. Киев, ч. 1, 2006, № 6, с. 31-48; ч. 2, 2007, № 1, с. 19-36.

Semantic grounds of non-standard (hyper-real, infinitesimal) analysis

In the transition, volum of the “number” notion is on the increase but sense-differentiation range – on the decrease. There is a normal ratio in the semantic space:

,

i. e. there are such measures of volume and sence-differentiation range of a notion that their Cartesian product is equal to unit. (Here: NS = “number system”= =). By definition, it is natural to put

,

in this, a set with capacity equal to , is generated by a system consisting of a capacity set and a diagonal procedure over (2n+1)-adic Kantor’s subsets of the last-named set. Semantic lacunae are shown in the hyper-real vicinity of any real number.

О КОНЕЧНОЙ НОРМИРОВКЕ ТРАНСФИНИТНОСТИ

Краеугольным камнем в вопросе о трансфинитных мощностях является, как известно, обобщенная континуум-гипотеза (ОКГ). Ее принятие или отвержение ведет к построению взаимно-дополнительных дескриптивных теорий множеств (ДТМ). Однако оба варианта ДТМ – с ОКГ и без нее – ведут к тому, что в философии издавна называется "дурной бесконечностью". Результат такого положения вещей – вековая дискуссия между классическим и конструктивным направлениями в математике о том, существует ли актуальная или всего лишь потенциальная бесконечность. Эти проблемы не являются чисто умозрительными. Они имеют прямую связь с топологической структурой реальной физической Вселенной.