Эклектические экскурсы (стр. 8 )

Литература

1.  , , и др. Комплементарная медицина и позитивное естествознание.- Киев: Наукова думка, 1997.- 567 с. Монографию целиком или любой из ее разделов можно получить по электронной почте, обратившись по адресу автора (см. в начале статьи) (объем полного файла в редакторе Word в графическом формате – около 47 МБ).

2.  Новая «Каббала» (автор не указан).- http://biozot. boom. ru/mathem/mathem2.htm

3.  , Яковлев свойства мультиалгебраических систем // Доп. НАН України.- 2001.- №10.- С. 21-25; , Об изоморфизме мультиалгебраических систем // Доп. НАН України.- 2002.- №9.- С. 67-70

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ И КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА

Пусть X – некоторое пространство; F – множество всех возможных стохастических фракталов; F(А); F(А’): F F – подмножество стохастических фракталов, определенных на некотором классе А пространств или на отдельном пространстве-представителе A’ данного класса; P – мощность множества; М(А) или М(А’: A’A) – множество всех подмножеств, определенных на данном классе или его представителе соответственно; М – множество всех множеств в универсальном (Канторовом) смысле; d(А’) – метрическая размерность пространства A’, для непрерывного пространства отождествляемая в данном случае с мощностью множества его обобщенных координатных осей; D – фрактальная размерность множества.

Теорема 1. d(А’) ≤ א0 P [F(А’)] = א1.

Идея доказательства. Каждый шаг построения стохастического фрактала определяется некоторым распределением вероятностей. По определению, вероятность может непрерывно изменяться в пределах отрезка [0, 1]. Однако известно, что P [0, 1] = א1, а также что א0 × א1 = א1.

Замечание. Теорема 1, равно как и следующая теорема 2, относится именно к стохастическим фракталам, а не ко всем вообще стохастическим объектам. Легко определить сколько угодно стохастических объектов типа «один или несколько на координатную ось с определенной вероятностью», при отсутствии определяющего для фракталов алгоритма роста, мощность множества которых очевидным образом равна метрической размерности пространства.

Теорема 1, в случае трансфинитномерных пространств, может быть обобщена до следующей

Теоремы 2. d(А’) = אn P [F(А’)] = אn+1.

Замечание. Очевидно, что теорема 2 представляет собой частный случай обобщенной континуум-гипотезы, т. е. её приложение к частному классу объектов – стохастическим фракталам.

Идея доказательства. 1) На первый взгляд, можно было бы, воспользовавшись натуральными индексами n=1, 2, 3,… в кардиналах вида אn, придать кардинальному числу אn смысл индекса, по аналогии с натуральным индексом счетного случая, и далее, по аналогии с теоремой 1, построить произведение вида , которое представляет собой процедуру Кантора «множество всех подмножеств» над множеством {d(А’)}. Однако такой путь очевидным образом использует обобщенную континуум-гипотезу (ОКГ), а потому является неудовлетворительным для наших целей.

2) В нашем случае представляется целесообразным воспользоваться общеизвестным соотношением D ~ (lnN/lnR) и тем вытекающим из него фактом, что при N→∞ имеет место связь: d(А’) = n lim D(А’) = n+1. В этом случае, понятно, следует применить ту же аналогию между финитным индексом n и трансфинитным индексом אn, что и в первом варианте. Однако здесь такая аналогия уже не подразумевает использования ОКГ.

Таким образом, Теорема 2 представляет собой доказательство ОКГ для частного класса объектов – стохастических фракталов. Это доказательство справедливо ровно в меру формализуемости аналогии между натуральными индексами n = 1, 2, 3,… и кардинальными индексами א1, א2, א3,….

SUMMARY

Stochastic fractals and the Continuum-hypothesis

The Generalized continuum-hypothesis is proven for a special class of mathematical objects – the stochastic fractals. The proof is as correct as the analogy between the natural indices n = 1, 2, 3,… and cardinal indices א1, א2, א3,….

ВЕЧНОСТЬ, ВРЕМЯ И РЕДУКЦИЯ ТРАНСФИНИТНОСТИ

Связь понятий, вынесенных в название работы, обсуждается с точки зрения построения множеств гипердействительных чисел разных порядков (по Робинсону и далее). Продемонстрирована нетривиальная связь между обобщенной континуум-гипотезой и основаниями классического анализа. Предложен алгоритм арифметизации множества материальных систем.

Предлагаемая концепция природы времени и его взаимосвязи с Вечностью, насколько способен судить автор, объясняет ряд феноменов, порождающих противоречия во всех доныне существовавших концепциях.

Вечность абсолютна. Топология собственного времени конечной сущности определяется топологией самой сущности, т. е. заложенной в ней системой подклассов (а не вообще подмножеств) Абсолюта, т. е. системой критериев выделения таких подклассов. В пределе, множество критериев становится столь разнообразным, что любое подмножество может рассматриваться как подкласс. Это и означает переход к Абсолюту, т. е. к Вечности.

Таким образом, множество критериев, на первый взгляд, равномощно множеству определяемых ими подклассов объектов, отличных от критериев. Однако в таком варианте класс критериев самореферентен, т. к. может быть, в свою очередь, разбит на подклассы в соответствии с критериями второго порядка, и т. д. до бесконечности... или до нормирующей свертки. Выход в метасистему, или второй аспект (второй член) антиномии состоит в том, что в пределе дифференциации каждый объект есть сам-в-себе критерий, так что объектов, отличных от критериев, не существует. Эти два аспекта антиномии – суть аспекты феноменальный (первый из рассмотренных) и ноуменальный (второй). Во втором аспекте имя (ноумен) объекта отождествляется с его бытием (экзистенцией, существованием). В этом, видимо, состоит решение парадоксов Кантора и Рассела.

Обобщая сказанное, можно утверждать, что время есть множество критериев дифференциации (различения и, следовательно, узнавания) объектов (в том числе множеств, многообразий, классов, процессов, алгоритмов). Собственное (локальное) время материальной или информационной системы – пересечение множеств критериев, определенных в ее элементах (подсистемах).

Понятно, что время, определенное таким образом, может иметь разнообразную топологию, определяемую свойствами системы-«хозяина».

Ускорение и замедление времени означает, в этих определениях, повышение или снижение способности системы к дифференциации объектов. Время Абсолюта – Вечность – в этих терминах, как и следовало ожидать, антиномично, т. е. бесконечно быстро и, вместе с тем, бесконечно медленно.

Множества критериев, в соответствии с результатами статей [1, 2], могут быть представлены числовыми множествамиØ, A, N, Q, R, R*= R4π(*), R**= = R4π(*^2), R***= R4π(*^3),…, R4πn(*), где А – конечное множество; (*) – преобразование множества действительных чисел во множество гипердействительных по Робинсону, (*^2) – множества гипердействительных чисел Робинсона во множество гипердействительных чисел второго порядка, и т. д.

В связи с последним пассажем, интересно рассмотреть вражения, в которых, в силу односторонности границы ячейки суперобъединения [3], далее полагаем:

Ø, Ø*= Ø4π(*),Ø4π(*^2),Ø4π(*^3), …, Ø4πn(*) ; А, А*= А4π(*), А4π(*^2), А4π(*^3), …, А4πn(*) ; N, N*= N4π(*), N4π(*^2), N4π(*^3), …, N4πn(*) ; Q, Q*= Q4π(*),Q4π(*^2), Q4π(*^3), ..., Q4πn(*), где N(N*Q*); Q(Q*R*R**…R4πn(*)). Если такие выражения правомочны, то (*)n = n(*), т. е. преобразование (*) представляет собой некоторое обобщение операций логарифмирования и/или дифференцирования. В последнем случае, как видно из предыдущего, d(*)=(*). Таким образом, преобразование (*) есть обобщение функции lognx и/или ex. Восхождение к Абсолюту (Вечности) требует, к тому же, таких свойств преобразования (*), что