Эклектические экскурсы (стр. 12 )

Произведем еще одну «сумасшедшую» операцию. А именно, найдем стандартным способом первую производную по от выражения . Получим:

,

где - показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить .

Поскольку, согласно [1], преобразование (*) есть обобщение функции lognx и/или ex, получаем , то есть , где есть множество отображений , имеющих область определения только на множестве гипердействительных чисел n+1-го ранга, а область значений – на множестве . Вполне очевидно, что мощность такого множества отображений равна .

Отождествление конечных чисел 0 и е с трансфинитными множествами однозначно указывает на то, что число е является ординалом. Это, в свою очередь, означает, что ось ординалов не является линейным продолжением множества натуральных чисел (в случае принятия КГ) или действительной числовой оси (в случае отвержения КГ), но наложена на эти действительную ось нелинейным образом, пересекаясь или соприкасаясь с нею в точках, соответствующих некоторым особым числам. Из них точки «0» и «е» нами уже обнаружены. Знаменитая формула Эйлера указывает, что число π на действительной оси, а также числа ±1 и ±і на действительной и мнимой осях комплексной плоскости также принадлежат множеству таких особых чисел. Формула , где φ – коэффициент золотого сечения*), демонстрирует то же самое для числа φ.

Далее, из изложенного выше ясно, что «точки» «e», «π», «±1», «±і» на самом деле представляют собой соответствующие точечные множества, изоморфные рассмотренному выше множеству . Наконец, вывод о точках «±i», в свою очередь, указывает на необходимость введения гипермнимых чисел по аналогии с гипердействительными. Гипермнимые числа не путать с гиперкомплексными, они не содержат действительной части!

Изложенное выше дает основание для следующей гипотезы. Ось ординалов, элементами которой являются точечные множества вида , где а = 0, 1, i, а также e, π и вообще все трансцендентные числа, является инцидентором фрактала числовых систем.

Дополнение

О возможных действительных значениях мнимых чисел

Известно, что область определения функции составляет . Поредположим обнако, что нам удалось определить логарифмическую функцию таким образом, что, при сохранении ее основных свойств, её область определения расширилась до . Конструирование такого определения, конечно, представляет собой предмет специальной разработки с сомнительным результатом, для этого придется переопределить понятия степени и некоторые другие, но предполдожим, что эта разработка уже выполнена. Ведь математическая истина, как и всякая научная истина, объективна и не зависит от того, нашли мы уже подходы к ней или пока ещё не нашли!

Посмотрим же, что получится в такой ситуации из известной формулы Эйлера . Итак, . Поскольку, по определению, , далее получаем:

Итак, если логарифмическую функцию фозможно переопределить таким образом, чтобы ее область определения составляла , то мнимая единица оказывается трансцендентным действительным числом 0.57... .

Литература

1.  Орловский , время и редукция трансфинитности // В этом же выпуске.

2.  Орловский числовых множеств и конденсация чисел // В этом же выпуске.

3.  Орловский 5. Нестандартный анализ и фрактал числовых систем / в кн.: , , и др. Комплементарная медицина и позитивное естествознание.- Киев: Наукова думка, 1997.- 567 с.- С. 519-526.

*) Эта формула не принадлежит автору данной статьи, а найдена им в Интернете.

Summary

Several set-theoretical properties of the 0, e, π, φ, ±1, ±і numbers on hyper-real and hyper-imaginary axes

The considerations are presented about several “peculiar” numbers (0, e, π, ±1, ±і) are both the points of the hyper-real or hyper-imaginary (not hypercomlex!) axes of different ranges in the plane of complex numbers and the points of ordinal axis. This situation takes place only in hierarchical (multi-level) hyper-real analysis but not in traditional real analysis.

НАЗАД ПО ШКАЛЕ АЛЕФОВ

Показано, что диагональная процедура Кантора есть лишь доказательство существования процедуры повышения алефа, тогда как самой этой процедурой Φ является нахождение множества всех подмножеств данного множества. Сконструирована иерархическая (трехуровневая) процедура Φ-1.

Данная заметка представляет собой переосмысление и дополнение материала, изложенного в нашей статье [1].

Прежде всего, сформулируем в явной форме несколько достаточно очевидных утверждений, которые почему-то – по крайней мере, насколько известно автору этих строк – никогда не были использованы в теории трансфинитных множеств.

1.  Единожды проведенная диагональная процедура (ДП) Кантора, как известно, демонстрирует лишь единственный контрапример, знаменующий собою переход к высшему алефу. Множество всех возможных ДП на множестве мощности א0 счетно, а потому демонстрирует лишь счетное множество таких контрапримеров. Однако реальный переход в конечном счете означает наличие трансфинитного множества таких контрапримеров. Поэтому ДП представляет собой доказательство существования некоторой процедуры (*), ведущей вверх по шкале алефов, но ни в коем случае не саму эту процедуру. В собственном же смысле процедурой, повышающей мощность, является нахождение множества всех подмножеств (назовем это процедурой Φ).

2.  Вполне очевидно, что существует не только процедура , но и обратная ей процедура , так что . Эта обратная процедура не только подразумевает, или использует, аксиому выбора, но является алгоритмом выбора, т. е. представляет собой конечную процедуру, в том числе на трансфинитных множествах. Этот очевидный факт сам по себе доказывает существование конечной редукции трансфинитностей.

3.  Обозначиммножество всех аналогов процедуры факториала (х!) и философской суммы Ξ(х) для числа х (см. ниже). Тогда . Все три множества, поименованных в этой формуле, не более чем счетны. Счетны также и множества .

Уточняя формулу (1а) из статьи [1], можно записать:

(1),

где символ Ã пробегает всю совокупность процедур (как конечных, так и трансфинитных, а также счетно-бесконечных, если таковые существуют) типа философской суммы (Ξ) и факториала (!), порожденных всеми возможными бинарными операциями.

Отсюда, учитывая изложенное выше, естественно положить

(2).

Замечание. Для натуральных чисел процедуры «философская сумма» и «факториал» выражаются, как известно, следующими формулами:

Однако для эти процедуры в обычном смысле не определены, поскольку, несмотря на вполне упорядоченность множеств действительных и гипердействительных чисел, на этих множествах не определено понятие элемента, непосредственно следующего за данным. В этой ситуации естественно определить аналогичные процедуры для действительного числа «х» таким образом: , где - стандартное обозначение радиуса бесконечно-малой окрестности действительного числа. Для гипердействительных чисел, не вдаваясь пока в подробности, просто произведем замены .