Эклектические экскурсы (стр. 14 )

(3)

Здесь означает внешний по отношению к объекту О элемент системы, одновременно выступающий в качестве несобственного элемента объекта О. Понятно, что множество таких элементов может быть и пустым. Знак означает внутреннее произведение. В принципе он может быть заменен знаком , если оговорено, что .

В системе с потенциальным (полностью вырожденным) объектом О изменяется только последняя строка выкладки (3). Очевидно, что отрицательным во множествах с отрицательной мощностью является именно инцидентор, т. е. операция #, а не совокупность : эта совокупность просто пуста1). В результате получаем:

(3а)

Выкладка (3а) показывает, что процесс заполнения ниши описывается алгоритмом типа цепной (непрерывной) дроби, но определенным в системе с мультипликативной композицией (см. замечание о природе операции # во вводной части статьи), а не с аддитивной композицией, как обычная цепная дробь. Очевидно, что в стандартном (действительном) анализе такое утверждение лишено смысла. В самом деле, для перехода от аддитивной композиции к мультипликативной необходимо заменить 1 на 0. При этом все числители неполных частных такой мультипликативной цепной дроби оказываются тождественно равными нулю. Тогда лишь первое из неполных частных может быть не равным нулю, второе тождественно равно нулю, а все последующие суть неопределенности вида 0/0. Утверждение приобретает смысл лишь в бесконечной иерархии гипердействительных числовых систем, т. е. когда производятся замены (в обозначениях из статьи [1]) и т. д. для n-ного неполного частного. Таким образом, устанавливается, по-видимому, взаимно однозначное соответствие между неполными частными «мультипликативной» цепной дроби и структурными уровнями фрактала числовых систем [2]. В связи с этим, принципиальную важность приобретает вопрос о переходе от конечных отрицательных мощностей к бесконечным, в том числе трансфинитным.

2.  Диагональная процедура Кантора:

от конечных множеств к счетным

В современной теории множеств существует досадный пробел, из-за которого ось алефов неоправданно представляется разрывной. В самом деле, для бесконечных множеств определена диагональная процедура Кантора (ДП), обеспечивающая переход от каждого предшествующего алефа к каждому последующему. Даже если множество не является числовым – не беда: у каждого из его элементов неизбежно существуют числовые характеристики, каковыми и можно оперировать. Но как же перейти от конечных мощностей к первой из бесконечных, т. е. к א0? Особо подчеркнем, что искомый переход, как и вообще всякая ДП, не порождает ранее не существовавший высший алеф, а лишь указывает путь к объективно существующему высшему алефу, т. к. все уровни бесконечности априорно предполагаются актуальными.

Для этого нам понадобится следующее вполне очевидное

Утверждение. Всякое заранее заданное натуральное число, в силу актуальности натурального ряда, является элементом каждой из счетно-бесконечного множества различных систем счисления.

В силу данного утверждения, всякое конечное множество натуральных чисел, в том числе каждое отдельное натуральное число, онтологически связано с актуальным натуральным рядом, т. е. со структурой мощности א0.

Понятно, что рассматриваемая процедура соотнесения конечных множеств натуральных чисел со всем натуральным рядом через множество систем счисления представляет собой аналог ДП, но весьма своеобразный. В самом деле, здесь ДП применяется не к десятичным записям чисел, а к записям оснований систем счисления в виде конечных последовательностей натуральных чисел, каковых последовательностей имеется счетное множество.

3.  Финитность алгоритма заполнения ниши

Из вышеизложенного ясно, что алгоритм заполнения ниши (превращения ) при мультипликативной композиции системы S является трансфинитным. Поэтому он, собственно, вообще не является алгоритмом, а в любой реальной системе заполнение ниши физически невозможно… ровно в той же мере, в какой Геркулес не может догнать черепаху в знаменитой апории Зенона. Однако наша апория (а может быть, и апория Зенона как таковая?) легко разрешается, если предположить, что мультипликативная цепная дробь, заданная выкладкой (3а), является периодической. Такое предположение вполне логично при учете результатов наших предшествующих работ [1, 3] о редукции трансфинитных мощностей. Критерии периодичности мультипликативной цепной дроби должны составить предмет специального исследования.

Но обязательно ли композиция системы S является мультипликативной? Я предполагаю, что, по крайней мере для очень многих реальных систем, композицию можно представить как аддитивную, если воспользоваться известным еще в средние века понятием философской суммы числа – процедуры, представляющей собою аддитивный аналог факториала. Для натурального числа N философская сумма составляет . Например, Ξ(5) = 1+2+3+4+5 = 15). Тогда в формулах (1), (3), (3а) необходимо произвести замену . Если такой подход правомочен, то он ценен тем, что к построению алгоритма заполнения ниши становятся применимыми известные критерии периодичности [4]: квадратичная иррациональность как критерий периодичности обычной цепной дроби, кубическая иррациональность как критерий бипериодичности двумерной цепной дроби и т. д.

* * *

Таким образом, введенное нами понятие множеств отрицательной мощности позволяет сформулировать ряд новых понятий и вопросов, таких как понятие мультипликативной цепной дроби и вопрос о критериях ее периодичности, вопрос об обобщенном алгоритме заполнения (экологической) ниши, вопрос об использовании понятия философской суммы в теории систем.

1)  Хотя совокупность и не является множеством, она может рассматриваться как пустое множество, если не содержит ни одного элемента, т. к. ее инцидентор тоже пуст.

Литература

1.  Орловский , время и редукция трансфинитности // В этом же выпуске.

2.  Орловский 5. Нестандартный анализ и фрактал числовых систем / в кн.: , , и др. Комплементарная медицина и позитивное естествознание.- Киев: Наукова думка, 1997.- 567 с.- С. 519-526.

3.  О конечной нормировке трансфинитности // К основам физического взаимодействия.- Научные труды действительных членов Международной академии биоэнерготехнологий.- Т.2.- Днепропетровск, 2007.- С. 158-162.

4.  Арнольд дроби.- М.: МЦНМО, 2000.- 40с.

Summary

Sets of negative capacity

A notion of a set of negative capacity (power) is introduced as a non-fulfilled (ecological) niche in a given system. Let an X set capacity is С(Х). Then, the corresponding negative capacity set has capacity , and . In an infinite system with multiplicative composition, an algorithm of niche fulfillment is shown to be transfinite and, because of this, it is necessary to introduce the notions of a multiplicative chain fraction and criteria of its periodicity, in order to explain existence of this algorithm. It is suggested that, for many kinds of systems, multiplicative composition may be substituted for additive one using the notion of philosophical sum of a natural number N: .

О НОРМИРОВКАХ В ЗАМКНУТОМ КОРРЕЛЯЦИОННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Введено абстрактное парциальное корреляционное пространство С(ОР) некоторого объекта-процесса, являющееся элементом замкнутой корреляционной системы S и референтное его же парциальному физическому пространству взаимодействий Ф(ОР) в замкнутой физической Вселенной. Принцип Маха и ренормгруппа представлены как нормировки в С(ОР). Показано, что в данной интерпретации ренормгруппа имеет как аддитивную, так и мультипликативную композицию, т. е представляет собой кольцо.

Пусть задано множество (счетное или несчетное) С(ОР) всех корреляционных функций некоторого объекта-процесса ОР, т. е.

С(ОР)={ci(OP); }, где {ci} включает как автокорреляционные функции ОР, так и его взаимно-корреляционные функции с каждым из объектов-процессов, составляющих дополнение OP\S к ОР в замкнутой (т. е. не имеющей взаимно-корреляционных функций с объектами-процессами, ей не принадлежащими) системе S; IОР S (IОР – образ (image) ОР); N – множество натуральных чисел (с нулем); Ω – множество всех ординалов.