Квадратурные формулы (стр. 10 )

4.  Формулы Ньютона – Котеса.

5.  Почему формулы Ньютона – Котеса непригодны для вычислений при большом числе узлов?

6.  Форма остатка формулы Ньютона – Котеса.

7.  Простейшие формулы Ньютона – Котеса, остатки этих квадратур.

8.  Формула Симпсона и правило трех восьмых имеют одинаковую степень точности. Погрешность какой из двух формул выше и во сколько раз?

Л е к ц и я 5

Квадратурные формулы наивысшей
алгебраической степени точности

1. Общие теоремы

Квадратурная формула

(1)

при фиксированном числе узлов содержит параметров и . Параметры нужно выбрать так, чтобы формула (1) была точной для многочленов возможно более высокой степени. В лекции 4 мы выяснили, что при произвольном выборе узлов и при определенном выборе коэффициентов формула (1) будет точной для всех многочленов степени . При этом требовании форму-ла (1) должна быть интерполяционной.

Для увеличения точности квадратурной формулы (1) можно воспользоваться узлами . Степень точности при определенных условиях можно увеличить на единиц и сделать формулу, верной для всех многочленов степени . Выясним условия, которым должны удовлетворять и , чтобы формула имела степень точности .

Построим многочлен по уз-
лам . Этот многочлен можно разложить по степеням : . Корни этого многочлена совпадают с узла-
ми . К корням многочлена предъявляются требования: они должны быть действительными, различными и не выходить за границы отрезка интегрирования.

Теорема 1. Для того, чтобы формула (1) была точной для всех многочленов степени необходимо и достаточно, чтобы она была интерполяционной и многочлен был ортогонален по весу ко всем многочленам степени :

. (2)

Доказательство. Проверим необходимость условия. Если форму-ла (1) верна для многочленов степени , то она верна и для многочленов степени и поэтому должна быть интерполяционной.

Пусть – любой многочлен степени . Произведение есть многочлен степени и для него равенство (1) должно быть точным. Но и поэтому

,

что доказывает необходимость ортогональности.

Убедимся в достаточности условий. Пусть – произвольный многочлен степени . Разделив на , можно представить в форме

,

где и – многочлены степеней . Так как то

Первый из интегралов правой части равен нулю по условию ортогональности. Так как степень не больше , а формула (1) интерполяционная, то должно быть точным равенство

Ввиду того, что должно быть верным равенство

и формула (1) действительно будет точной для произвольных многочленов степени . Теорема доказана.

Вопрос о возможности построения квадратурной формулы связан с существованием многочлена степени , обладающего свойством ортогональности (2). Если весовая функция изменяет знак на то многочлен может не существовать. Корни многочлена могут не удовлетворять указанным выше условиям. Поэтому потребуем, чтобы вес был неотрицательной функцией на . Из теории ортогональных многочленов известно, что многочлен степени , ортогональный по весу ко всем многочленам меньших степеней, будет существовать при всяких . Корни многочлена будут действительными, различными и лежать внутри отрезка интегрирования. Поэтому справедливо утверждение:

если вес , то квадратурная формула (1), точная для всяких многочленов степени , существует при всех .

Осталось выяснить, будет ли наивысшей алгебраической степенью точности формулы (1). Для знакопостоянного веса справедлива теорема 2.

Теорема 2. Если , то ни при каком выборе и равенство (1) не может быть верным для всех многочленов степени .

Доказательство. Для многочлена , имеющего сте-пень , интеграл , так как вес неотрицательный. Квадратурная сумма так как . Поэтому для равенство (1) не может быть верным.

Построим квадратурную формулу, имеющую наивысшую степень точности. Для этого рассмотрим систему ортогональных на многочленов по весу . Будем считать многочлены нормированными. Возьмем из этой системы многочлен степени . Корни будут узлами разыскиваемой квадратурной формулы.