Квадратурные формулы (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пензенский государственный университет»

 

Н. Ф. Добрынина

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

Конспект лекций

Пенза Издательство Пензенского государственного университета 2007

УДК 517

Д56

Р е ц е н з е н т ы:

Кафедра «Информатика и методика преподавания информатики»
Пензенского государственного педагогического университета
им. В. Г. Белинского

Кандидат физико-математических наук, доцент,
заведующий кафедрой «Алгебра»
Пензенского государственного педагогического университета
им. В. Г. Белинского

А. А. Ловков

Добрынина, Н. Ф.

Д56 Квадратурные формулы: конспект лекций / Н. Ф. Добрынина. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007. – 100 с.: ил. – Библиогр.: с. 100.

Рассматриваются квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов в одномерном и двумерном случаях. Даны построение простейших квадратурных формул, интерполяционные квадратуры, квадратуры с наивысшей алгебраической степенью точности и квадратуры, содержащие наперед заданные узлы. Излагается проблема сходимости квадратурного процесса. В многомерном случае акцент делается на методе статистических испытаний.

Конспект лекций подготовлен на кафедре «Высшая и прикладная математика» и предназначен для студентов специальности «Прикладная матема­тика».

УДК 517

©  Ф., 2007

© Издательство Пензенского государственного
университета, 2007

 

Лекции «Квадратурные формулы» посвящены методам приближенного вычисления определенных интегралов.

В 1-й лекции строятся простейшие формулы для приближенного вычисления интегралов по отрезку. Эти формулы называются квадратурными. Изучается вопрос о повышении точности вычисления интегралов за счет разбиения отрезка на части, за счет повышения степени полиномов, для которых квадратуры точны, за счет сведения интегралов от функций с особенностями к интегралам от гладких функций.

В лекциях 2–9 решаются вопросы оптимизации вычислений определенных интегралов.

В лекциях 10–11 дается обобщение изученных квадратурных формул на определенные интегралы; изучаются формулы для приближенного вычисления, которые называются кубатурными.

 

Л е к ц и я 1

Простейшие квадратурные формулы

1. Метод неопределенных коэффициентов

Простейшие квадратурные формулы получим из следующих соображений. Вычисляется интеграл

. (1)

Если на отрезке , то можно положить , где  – произвольная точка на . Если в качестве взять среднюю точку отрезка, то получим формулу прямоугольников

.

Предположим, что подынтегральная функция на отрезке интегрирования близка к линейной функции; тогда интеграл будет приближенно равняться площади трапеции с высотой и основаниями и (рис. 1). В результате получим формулу трапеций

.

Рис. 1

Более сложные квадратурные формулы строятся методом неопределенных коэффициентов:

.

Погрешность формулы

является линейным функционалом, и если подынтегральную функцию представить в виде многочлена, то имеем

Нужно добиться выполнения равенств при возможно большем значении . Нужно определить три неизвестных постоянных , тогда получим систему уравнений

Решая эту систему, получаем , т. е. получили квадратурную формулу (квадратуру), точную для многочленов третьей степени, называемую формулой Симпсона.

В вычислениях определенного интеграла мы перешли от отрезка к отрезку . Такой переход удобен тем, что арифметические выкладки при построении квадратурной формулы оказываются короче.

Подынтегральная функция часто приближается не многочленами, а обобщенными многочленами, т. е. линейными комбинациями вида

,

где – линейно независимые функции. Методом неопределенных коэффициентов строится квадратура.

Когда подынтегральную функцию можно представить в виде произведения некоторой фиксированной функции p(x) и многочлена, то квадратурная формула находится в виде

(2)

Функцию называют весом, или весовой функцией; квадратурная формула в этом случае точна для всех многочленов степе-
ни .

2. Оценки погрешности квадратурной формулы

Нужно вычислить интеграл (2) в разд. 1. Если квадратура точна для многочленов степени , то

поэтому

при любом многочлене степени . Оценив в каждое слагаемое, получим оценку

, (1)

где

Очевидно, что погрешность квадратурной формулы оценивается

при любом , норма определяется по формуле

Возьмем нижнюю грань по всем многочленам степени , получим оценку

. (2)

Условие, что квадратура точна для многочлена нулевой степени, имеет вид

При и имеем

поэтому . По формуле (1) получаем оценку погрешности

.

Если в качестве взять интерполяционный многочлен по нулям многочлена Чебышева, то получим