Квадратурные формулы (стр. 15 )

Доказательство. Необходимость первого условия очевидна, так как, если формула (1) верна для всех многочленов степени , то она должна быть интерполяционной. Необходимость второго условия проверяется, если положить . Функция есть многочлен, степень которого . Так как в точках и исчезает, то квадратурная сумма для такой функции обращается в нуль и будет выполняться условие

(2)

и тогда равенство (1) будет точным.

Достаточность условий теоремы следует из таких предположений. Пусть есть произвольный многочлен степени . Его можно представить в форме

,

где и  – степени и соответственно. При этом очевидно, и .

Если выполнено условие ортогональности (2) и формула (1) – интерполяционная, то будет верной следующая цепочка равенств:

=.

Достаточность условий теоремы доказана.

Таким образом, построение квадратурной формулы (1), верной для алгебраических многочленов степени , приводит к нахождению многочлена степени , ортогонального на по весу ко всякому многочлену меньшей степени. Корни многочлена должны быть действительными, различными и принадлежать отрезку . Кроме того, они должны быть отличны от фиксированных узлов .

Допустим, что многочлен , обладающий указанными свойствами, существует. Тогда формула (1) может быть построена и она верна для многочленов степени . Для изучения алгебраической степени точности данной квадратурной формулы получим представление остатка. Выполним интерполирование на с помощью многочлена степени по следующим условиям:

Если имеет производную порядка во всех точках отрезка , то остаток интерполирования представим в форме

Для остатка квадратуры справедливо равенство . Поскольку формула (1) верна для всех многочленов степени , то . Кроме того, во всех узлах и остаток интерполирования обращается в нуль и поэтому квадратурная сумма для исчезает

Следовательно,

. (3)

Отсюда видно, что если

,

то степень точности формулы (1) равна .

Формула (1) является интерполяционной, поэтому ее коэффициенты должны иметь следующие значения:

, (4)

. (5)

Для коэффициентов можно дать другое представление, более удобное для вычислений. Допустим, что существует единственная система многочленов , где  – ортонормированная система по весу на отрезке . Многочлен может отличаться от только постоянным множителем

.

В лекции 5 для интеграла были получены следующие два выражения:

.

Под здесь подразумевается старший коэффициент многочлена .

Таким образом, коэффициенты квадратурной формулы могут быть вычислены по одной из двух формул:

. (6)

2. Формулы частного вида

При построении квадратурных формул, рассмотренных в лекции 5, все узлы и коэффициенты выбирались так, чтобы каждая из них была точной для многочленов возможно более высокой степени. Стремясь обобщить эту идею, рассматривал такие формулы, в которых для повышения точности используется произвольный выбор коэффициентов и лишь части узлов . Другая же часть узлов может быть фиксирована любым способом.

Будем считать функцию , входящую в интеграл (1) разд. 1, неотрицательной: . Чтобы другая весовая функция, участвующая в исследованиях, сохраняла знак, мы должны предположить, что также сохраняет свой знак на и, следовательно, ни один из фиксированных узлов не лежит внутри . Если не допускать квадратурных формул с узлами, лежащими вне , то мы должны ограничиться рассмотрением следующих случаев А. А. Маркова:

1) и берется один фиксированный узел ;

2) и фиксирован узел .

Второй случай приводится к первому с помощью линейного преобразования и отдельно рассматриваться не будет.

3) и берутся два фиксированных узла .