Квадратурные формулы (стр. 3 )

Рассмотрим некоторые свойства многочленов Бернулли.

1.  Начальные значения многочленов Бернулли при соответствуют числам Бернулли:

(4)

Это видно из формулы (3).

2. Дифференцируемость и интегрируемость .

Вычислим производную от производящей функции:

Левая часть отличается от производящей функции только множителем , поэтому

(5)

Отсюда

(6)

Правило интегрирования многочленов Бернулли следует из формул (5) и (6):

(7)

3. Свойство преобразования аргумента многочлена Бернулли, следующее из теоремы об умножении аргумента.

Пусть – любое положительное число

С другой стороны, может быть получено разложение

Из двух последних разложений следует теорема об умножении аргумента:

(8)

4. Свойство неоднозначного представления многочлена Бернулли, вытекающее из теоремы о представлении многочленов .

Чтобы изучить поведение , нужно ввести новую переменную . Всякий многочлен четного номера может быть разложен по степеням :

, (9)

причем и Всякий многочлен Бернулли нечетного номера может быть представлен в форме

(10)

где все коэффициенты положительные.

5. Свойство симметрии распределения значений .

Рассмотрим точку на оси . Точки и расположены симметрично на единичном отрезке. Переменная не изменит своего значения при замене на . Из этих рассуждений и формулы (9) следует, что

(11)

График многочлена является линией, симметричной относительно прямой

В формуле (10) множитель принимает одинаковые значения в точках и . Множитель при замене на сохраняет абсолютную величину, но изменяет знак:

(12)

График многочлена имеет центр симметрии в точке

При из (11) получается ; из (12) при следует . Каждый многочлен Бернулли, кроме , на концах отрезка принимает одинаковые значения:

(13)

6. Характерное изменение многочленов Бернулли на отрезке .

Нам потребуются значения , которые можно вычислить с помощью теоремы об умножении аргумента. Если в формуле (8) положить и , то получим

.

Но так как , то при любом

. (14)

Вместо многочленов Бернулли будем использовать более удобные для записи многочлены

.

Вычислим сначала многочлен четного номера . По формуле (9) имеем

. (15)

Точки и являются нулями функции . Исследование функции (15) показывает, что при изменении от 0
до многочлен будет возрастать от 0 до . Когда изменяется от до 1, функция убывает до 0.

Рассмотрим теперь многочлен нечетного номера . Будем считать , тогда

(16)

Точки и являются нулями функции . Из формулы (16) следует, что есть простой нуль и других нулей на отрезке этот многочлен не имеет. Знак функции определяется неравенствами