Квадратурные формулы (стр. 12 )

(4)

Выражение остаточного члена формулы Гаусса вычисляется по формуле

(5)

Контрольные вопросы

1.  Необходимые и достаточные условия для того, чтобы квадратурная формула была точной для многочленов степени .

2.  Квадратурная формула, имеющая наивысшую степень точности.

3.  При каких условиях коэффициенты точной квадратурной формулы положительные?

4.  Остаток квадратуры наивысшей степени точности.

5.  Понятие сходимости квадратурного процесса на примере конечного интервала и непрерывной функции.

6.  Узлы, коэффициенты и остаток формулы Гаусса.

 

Л е к ц и я 6

Квадратурные формулы
с наименьшей оценкой остатка

1. Задача минимизации остатка
квадратурной формулы

В теории квадратур возникла потребность построения формул, которые были бы приспособлены для вычисления интегралов от функций, принадлежащих заданному классу. Пусть дан класс функций . Для каждой функции остаток квадратуры имеет определенное численное значение

(1)

За величину, характеризующую точность квадратурной формулы для всех без исключения функций класса F, может быть принято число

(2)

Остаток квадратуры зависит от и . Нужно воспользоваться возможностями выбора узлов и коэффициентов для того, чтобы придать наименьшее значение. На выбор и налагаются ограничительные условия. Виды условий связаны с выбором класса функций и способа задания самих функций. Об этом говорят следующие примеры.

1.  Если функции заданы таблично, то мы будем сильно стеснены в выборе узлов и должны считать, что берутся только из числа табличных значений аргументов.

2. Пусть мы хотим построить квадратурную формулу, имеющую наименьшую оценку остатка для всех функций с непрерывной производной порядка , удовлетворяющей условию . Чтобы можно было выполнить оценку остатка для таких функций, мы должны считать, что квадратурная формула верна для всевозможных многочленов степени . Это равносильно выполнению следующего равенства:

(3)

Линейным преобразованием отрезок всегда можно свести к отрезку , будем считать, что это преобразование выполнено.

2. Минимизация остатка в классах функций

Функция принадлежит классу , если имеет на абсолютно непрерывную производную порядка и производная порядка суммируема со степенью на .

Всякая функция может быть представлена в форме

(1)

где есть числа и – некоторая измеримая и суммируемая на отрезке со степенью функция.

Рассмотрим интеграл , где , весовая функция измерима и суммируема на отрезке .

Пусть для приближенного вычисления интеграла взята некоторая квадратурная сумма

(2)

Мы хотим получить формулу, которую будем считать «наилучшей» для всех функций , если равенство (2) является точным для всевозможных многочленов степени . Если воспользоваться представлением (1) функций класса , то остаток квадратуры можно привести к виду

(3)

(4)

Рассмотрим множество функций , удовлетворяющих условию

Согласно неравенству Гельдера, для в классе имеет место оценка

,

Поэтому точная верхняя граница равна

. (5)

От выбора и зависит только интеграл . Нужно подобрать веса и узлы таким образом, чтобы интеграл имел наименьшее значение. Если такие и существуют, то соответствующая им квадратурная формула считается «наилучшей» во всем классе .

Задача минимизации может быть истолкована как задача наилучшего приближения в метрике функции с помощью функций вида

При произвольных и такая задача в конечном виде не решается. Рассмотрим несколько частных случаев, когда решение может быть найдено.

Будем считать вес постоянным: и рассмотрим квадратурную формулу