Квадратурные формулы (стр. 11 )

Коэффициенты определяются равенством, равносильным равенству (4) в лекции 4:

(3)

Для вычисления интеграла (3) воспользуемся тождеством Кристоффеля–Дарбу, положив в нем . Тогда оно примет вид

,

где означает старший коэффициент в многочлене .

Умножим обе части равенства на и проинтегрируем по отрезку . Поскольку многочлены ортонормированные, то после интегрирования получим равенство

Отсюда будет иметь вид

(4)

Полученное выражение можно упростить, если использовать рекуррентное соотношение между ортонормированными многочленами:

Коэффициенты примут вид

(5)

Отметим, что все коэффициенты квадратурной формулы, имеющей наивысшую степень точности , положительны. Это следует из теоремы 3.

Теорема 3. Если квадратурная формула (1) верна для всевозможных многочленов степени , то все ее коэффициенты положительны.

Доказательство. Рассмотрим функцию Это многочлен степени и для него равенство (1) должно быть верным. Но

Поэтому

Теорема доказана.

Перейдем к изучению остатка квадратуры.

Теорема 4. Если имеет производную порядка на , то существует такая точка ,что для остатка квадратуры наивысшей степени точности верно равенство

(6)

Доказательство. Построим интерполяционный многочлен степени , удовлетворяющий условиям

Остаток интерполирования имеет следующее представление:

,

где  – некоторая точка, лежащая между и узлами .

Таким образом,

Поскольку квадратурная формула верна для всех многочленов степени , а степень многочлена также , то

и для остатка квадратуры имеет место равенство

Теорема доказана.

Далее докажем теорему о сходимости квадратурного процесса.

Пусть – неотрицательная весовая функция на и  – принадлежащая ей система ортогональных многочленов. Пусть – корни многочлена и – соответствующие им коэффициенты квадратурной формулы наивысшей степени точности.

Теорема 5. Если отрезок  – конечный и функция непрерывна на нем, то

(7)

Доказательство. Поскольку непрерывна на , при любом найдется такой многочлен , что для всяких будет

(8)

Очевидно,

С учетом формулы (8)

и

Кроме того, если – степень многочлена , то при , будет выполняться

и для таких выполняется неравенство

что доказывает формулу (7) и теорему.

2. Постоянная весовая функция

Исторически сложилось так, что первой найденной формулой наивысшей степени точности является формула Гаусса. Она служит для вычисления интегралов вида

(1)

взятых по конечному отрезку с постоянным весом.

Линейным преобразованием всякий конечный отрезок может быть преобразован в стандартный отрезок. Чтобы сделать более простым использование свойств симметрии узлов и коэффициентов , за такой стандартный отрезок мы примем [–1, 1] и будем считать, что интеграл (1) приведен к виду

(2)

Ортогональную систему многочленов с постоянным весом на отрезке [–1, 1] образуют многочлены Лежандра:

Построим квадратурную формулу с узлами:

(3)

имеющую наивысшую степень точности . Узлы ее нужно взять в корнях многочлена Лежандра степени :

Простые вычисления с помощью формул (4) и (5) разд. 1 этой лекции дадут коэффициенты в виде