Квадратурные формулы (стр. 7 )

Рассмотрим структурную формулу и представление остатка в случае, если функция принадлежит классу . Характерное представление функций этого класса дает формула Тейлора:

, (2)

где – любая точка отрезка .

Интеграл с переменной границей удобно заменить на определенный интеграл по отрезку . Для этого нужно ввести «гасящую» функцию, позволяющую уничтожить в определенном интеграле лишние участки интегрирования. Определим «гасящую» функцию равенствами

Равенство (2) может быть записано в виде

(3)

Если за параметр принять один из концов интервала интегрирования, например , то формула (3) упростится:

(4)

Получим представление остатка , характерное для класса . Для этого подставим формулу (3) в равенство (1):

(5)

Будем считать, что в двукратном интеграле

входящем в последний член правой части равенства (5), допустима перемена порядка интегрирования. Тогда остаток квадратуры примет форму

(6)

где ядро остатка имеет вид

– (7)

Если считать и , то для можно получить следующие равенства:

(8)

Аналогично может быть построено представление остатка для других классов функций.

Контрольные вопросы

1.  Понятие квадратурной суммы.

2.  Понятие степени точности квадратурной формулы.

3.  Алгебраическая степень точности квадратурной формулы.

4.  Наилучшая квадратурная формула.

5.  Квадратурная формула с наименьшей оценкой остатка.

6.  Особенности приближенного вычисления периодических функций.

7.  Понятие тригонометрической степени точности.

8.  Понятие остатка квадратуры.

9.  Понятие структурной квадратурной формулы.

10.   Представление остатка, характерное для класса .

 

Л е к ц и я 4

Интерполяционные
квадратурные формулы

1. Общий вид интерполяционных
квадратурных формул

Для построения квадратурных сумм часто пользуются интерполированием подынтегральной функции. Во многих случаях построенные таким путем квадратурные формулы обладают хорошей точностью и удобны для применения.

Выберем на отрезке интегрирования произвольных точек и интерполируем функцию по ее значениям в этих точках:

(1)

(2)

Здесь – остаток интерполирования.

Точное значение интеграла будет

Если интерполирование (1) было достаточно точным и остаток имел малые значения всюду на отрезке , то вторым слагаемым можно пренебречь. После этого получится приближенное равенство

(3)

где

(4)

Квадратурные формулы (3), коэффициенты которых определяются по формулам (4), называются интерполяционными. Для них справедлива теорема.

Теорема 1. Для того, чтобы квадратурная формула (1) была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы она была точной для всевозможных многочленов степени не выше .

Доказательство. Всякий многочлен степени может быть представлен в форме

Если коэффициенты имеют значения (4), то равенство (3) будет точным для . Требование, чтобы равенство (3) было точным для всех многочленов степени , равносильно тому, что при всяких должно выполняться равенство

Но тогда все коэффициенты должны иметь значения, определяемые по формуле (4), и формула (3) будет интерполяционной.

Из теоремы видно, что коэффициенты квадратурной формулы определяются условием, чтобы формула давала точный результат всякий раз, когда есть многочлен степени . Узлы квадратурной формулы остаются произвольными и можно воспользоваться возможностью их выбора для достижения тех или иных целей.

Для остатка интерполяционной квадратуры можно получить более глубокие результаты, чем приведенные в лекции 2. Остаток квадратурной формулы (3) равен интегралу от остатка разложения функции

. (5)

В более развернутом виде выражение остатка квадратуры имеет вид

(6)

Если воспользоваться остатком интерполирования в форме Лагранжа , то остаток квадратуры можно представить в виде

(7)

Если функция и ее производные ограничены на отрезке , т. е. если выполняются неравенства

(8)

то оценка квадратуры принимает вид

. (9)

Если сохраняет знак на , то оценка (9) является точной и улучшена быть не может. Более точная оценка остатка интерполяционной квадратуры для ограниченных функций имеет вид

. (10)

2. Формулы Ньютона – Котеса

Среди интерполяционных формул наиболее широко известны формулы Ньютона – Котеса. Они относятся к случаю постоянного веса и конечного отрезка интегрирования. Рассмотрим интеграл

(1)

Отрезок разделим на равных частей . Построим интерполяционную квадратурную формулу с узлами . Чтобы коэффициенты квадратуры не зависели от промежутка , запишем формулу в виде