Квадратурные формулы (стр. 8 )

(2)

Величины будут иметь значения

где Если ввести новую переменную , положив , то

и таким образом,

. (3)

Котесом были вычислены коэффициенты для от 1 до 10. Анализ поведения коэффициентов при изменении номера , начиная с , показывает, что они «ведут себя неправильно», часть коэффициентов отрицательная. Поэтому нужно асимптотическое представление коэффициентов:

при

(4)

при

(5)

Из полученных коэффициентов видно, что при больших значениях в формуле Ньютона – Котеса будут встречаться как положительные, так и отрицательные коэффициенты, с большими значениями по абсолютной величине. Отсюда следует, что малые ошибки в вычислении значений функции могут дать большую погрешность в квадратурной сумме. Поэтому формулы Ньютона – Ко­теса непригодны для вычислений при большом числе узлов.

Найдем более простое и удобное для приложений выражение остатка для формул Ньютона – Котеса. По формуле (5) в лекции 1 имеем

(6)

Рассмотрим случай, когда – четное число и в квадратурной формуле берется нечетное число узлов. Многочлен будет обладать свойством , и график его будет симметричным относительно середины отрезка . Введем функцию Для нее справедливо Покажем, что не обращается в нуль нигде внутри . Для этого рассмотрим интегралы . Утверждение будет доказано, если установить, что последовательность чисел убывает по абсолютной величине.

Если в интеграле заменить переменную , положив , то он преобразуется к виду

=

Чтобы последовательность интегралов была убывающая, должно выполняться неравенство , или . Последнее неравенство выполняется, поскольку

Проинтегрируем формулу (6) по частям и применим теорему о среднем значении:

Так как

то

Применим теорему о среднем к последнему интегралу:

Получаем

Доказано, что для остатка интерполяционной квадратуры Ньютона – Котеса верно равенство

(7)

Найдем знак остатка. Функция сохраняет знак на отрезке , поэтому достаточно выяснить ее знак в одной точке, например

При в произведении первый множитель положительный, все остальные отрицательные и Так как , то ввиду четности . Таким образом, доказана теорема 2.

Теорема 2. Если число узлов в формуле (2) Ньютона – Котеса нечетное и функция имеет на отрезке непрерывную производную порядка , то внутри существует точка такая, что для остатка квадратурной формулы верно равенство (7). Коэффициент при – отрицателен.

Отметим два следствия из этой теоремы.

1.  Если число узлов в формуле (2) нечетное, то алгебраическая степень точности формулы равна .

Это видно из представления остатка в равенстве (7). Формула (2) будет точной всякий раз, когда есть многочлен степени . Если есть многочлен степени , то будет величиной, отличной от нуля и

2.  Будем считать, что производная существует и есть непрерывная на функция; составим представление остатка. Положим , для остатка получится выражение

(8)

При ядру остатка можно придать форму

Видно, что ядро остатка есть неположительная функция с постоянным знаком на . Действительно, из формулы (7) видно, что коэффициент при – отрицательный и должно выполняться условие

Докажем теорему 3, аналогичную теореме 2, но для четного числа узлов.

Теорема 3. Если число узлов в формуле Ньютона – Коте-
са (2) четное и имеет непрерывную на производную порядка , то внутри существует точка такая, что для остатка квадратуры (2) верно равенство (9). Коэффициент при есть число отрицательное.