Квадратурные формулы (стр. 14 )

Исходя из вида ядра , повторяя рассуждения, проделанные ранее, приходим к выводу, что справедливы следующие утверждения:

1. Узлы и коэффициенты должны иметь значения

2.  Указанные узлы и коэффициенты доставляют наименьшее значение интегралу и такие значения являются единственными.

3.  Остаток квадратурной формулы для указанных узлов и коэффициентов имеет в классе оценку

4.  Квадратурная сумма есть сумма Римана и для всякой интегрируемой на отрезке в смысле Римана функции выполняется равенство

4. Задача минимизации оценки остатка
квадратурной формулы
с закрепленными узлами

Построим квадратурную формулу с заданными узлами и с наименьшей оценкой остатка. В приложениях чаще всего встречается случай равноотстоящих узлов и постоянной весовой функции. Разделим отрезок интегрирования на равных частей с шагом . В квадратурной формуле

(1)

можно произвольно выбрать коэффициент . Если потребовать, чтобы равенство (1) было точным для всевозможных многочленов степени , то коэффициенты вполне определяются и формула (1) совпадает с интерполяционной формулой Ньютона – Котеса. Будем считать, что формула (1) дает точный результат для многочленов степени . Это накладывает следующие ограничения на выбор :

(2)

Если производная порядка от есть непрерывная функция, то остаток квадратуры представим в форме

(3)

Среди чисел остаются произвольными и выбором их нужно воспользоваться для уменьшения оценки погрешности квадратуры. На различных классах функций минимизация проводится по-разному.

Рассмотрим класс функций , для которых

.

Если считать, что квадратурная формула будет точной в случае и, следовательно, ее коэффициенты удовлетворяют первому из условий (2), то для таких функций будет верна следующая оценка остатка

.

От чисел в оценке погрешности зависит лишь интеграл , и коэффициенты нужно выбрать так, чтобы придать интегралу наименьшее значение. Ядро остатка имеет в данном случае значение

и является линейной функцией на каждом из отрезков разбиения

В точках разбиения ядро имеет разрыв первого рода со скачком и предельные значения его на концах отрезка равны и .

Решая задачу на условный экстремум относительно функции при условии , получим

Квадратурная формула, которую мы нашли, является хорошо известной формулой трапеций

и остаток ее будет иметь оценку

Контрольные вопросы

1.  Точность квадратурной формулы для функций данного класса.

2.  Задача минимизации остатка квадратуры.

3.  Минимизация остатка в классах .

4.  «Наилучшая» квадратурная формула во всем классе функций.

5.  Минимизация остатка в классах .

6.  Задача минимизации оценки остатка квадратуры.

7.  Задача минимизации оценки остатка квадратуры с закрепленными концами.

 

Л е к ц и я 7

Квадратурные формулы,
содержащие наперед заданные узлы

1. Общие теоремы

Иногда возникает необходимость построения таких квадратурных формул, часть узлов которых задается заранее, другая часть узлов может быть взята произвольно, выбором таких узлов можно распоряжаться для достижения тех или иных целей.

Рассмотрим квадратурную формулу

(1)

в которой узлов фиксированы. Она содержит параметров и . Попытаемся выбрать параметры так, чтобы равенство (1) стало точным для многочленов возможно более высокой степени.

Введем два многочлена, связанных с узлами и :

За счет выбора коэффициентов и формулу (1) можно сделать верной для многочленов степени . Чтобы равенство (1) было верным для многочленов более высокой степени, нужно специально подобрать узлы .

Теорема 1. Для того, чтобы формула (1) была точной для многочленов степени , необходимо и достаточно, чтобы: 1) она была интерполяционной и 2) многочлен был ортогонален на отрезке по весу ко всякому многочлену степени .