Квадратурные формулы (стр. 13 )

(6)

Предположим абсолютно непрерывной и производную суммируемой со степенью . Это соответствует случаю . Формулу (6) будем считать точной, если . Тогда коэффициенты должны подчиняться условию

.

Остаток в классе имеет точную оценку

.

Ядро остатка есть кусочно-линейная функция со старшим коэффициентом, равным –1, для которой узлы являются точками разрыва. Скачок функции в узле равен коэффициенту . Если лежат внутри отрезка , то на концах при и ядро обращается в нуль.

Задача минимизации интеграла при условии дает ответ: узлы должны быть расположены в точках . Коэффициенты все должны быть одинаковыми, и так как сумма их равна 1, то .

Соответствующая квадратурная формула имеет вид

(7)

и является хорошо известной формулой прямоугольников с ординатами в средних точках. Остаток ее в классе имеет оценку

3. Минимизация остатка в классах функций

Функция принадлежит классу , если она имеет непрерывную производную порядка на отрезке . Характерное представление функций дается равенством

, (1)

где  – любые числа и – произвольная функция, непрерывная на отрезке .

Для построения квадратурной формулы

, (2)

имеющей наименьшую оценку остатка в , мы должны считать, что равенство (2) является точным для любого многочлена степени . Тогда остаток (2) может быть представлен в виде

, (3)

где

.

Рассмотрим множество функций , удовлетворяющих условию . На верна оценка

.

Верхняя грань оценки погрешности

. (4)

Мы должны так подобрать и , чтобы имел наименьшее значение при выполнении условий

. (5)

Положим и рассмотрим класс функций, непрерывно дифференцируемых на отрезке . В этом случае мы должны требовать, чтобы квадратурная формула давала точный результат для постоянной величины, что равносильно выполнению условия связи

.

Ядро имеет значение

.

Решение задачи минимизации остатка в классе функций имеет оценку

.

Рассмотрим класс дважды дифференцируемых функций и положим

Считая, что минимум ядра существует, применим к нахождению минимума ядра правила нахождения условного экстремума функции. Составим вспомогательную функцию

и приравняем нулю ее частные производные по узлам и коэффициентам :

(6)

,

(7)

Отсюда видно, что для каждого отрезка должно быть

Следовательно, на каждом отрезке ядро есть многочлен второй степени со старшим членом , наименее уклоняющийся от нуля в метрике на . Известно, что среди многочленов степени наименее отклоняться от нуля в метрике на отрезке будет многочлен

В частности, при это будет многочлен .

С помощью линейного преобразования перейдем от отрезка к отрезку . Ядро остатка примет вид