Квадратурные формулы (стр. 16 )

Ввиду знакопостоянства на , многочлен , ортогональный по весу на ко всякому многочлену степени , существует при всяком . Корни – действительные, простые и все лежат внутри отрезка . Поэтому квадратурные формулы (1) разд. 1 точные для всевозможных многочленов степени и в случаях Маркова могут быть построены при любых . Алгебраическая точность таких формул будет равна .

Построение начнем с первого случая , :

. (1)

Наивысшая степень точности формулы равна .

Здесь ;  – корни многочлена степени , ортогонального на по весу ко всякому многочлену степени . Используя формулу (6) разд. 1, получаем удобное средство для вычисления коэффициентов :

. (2)

Пользуясь формулой (5) разд. 1, найдем

. (3)

Легко показать, что все коэффициенты положительные.

Если имеет непрерывную производную порядка , то остаток может быть представлен в виде

(4)

Рассмотрим третий случай, когда два заранее заданных узла лежат на границах интервала интегрирования :

. (5)

Наивысшая степень точности такой формулы равна ; ;  – корни многочлена степени , ортогонального на отрезке по весу ко всякому многочлену меньшей степени.

Коэффициенты и вычисляются с помощью формул (4) и (5) разд. 1:

(6)

(7)

Остаточный член представим в форме

. (8)

Контрольные вопросы

1. Какие условия необходимы и достаточны, чтобы квадратурная формула с фиксированными узлами была точной?

2. Представление остатка квадратуры для дифференцируемой раз функции на отрезке с фиксированными узлами.

3. Построение квадратурных формул с использованием идеи
.

4. Квадратурные формулы с одним и двумя закрепленными узлами.

Л е к ц и я 8

Квадратурные формулы
с равными коэффициентами

1. Нахождение узлов

Квадратурные формулы с равными коэффициентами

(1)

очень удобны при численных расчетах. Это привлекло внимание многих ученых и побудило их заняться разработкой теории этих формул. Впервые в общем случае задачу о построении таких формул сделал П. Л. Чебышев, поэтому квадратурные формулы с равными коэффициентами называют формулами Чебышева.

Формула (1) содержит параметров и выбором их можно сделать равенство точным для всевозможных многочленов степени . Требованию точного выполнения формулы (1) для удовлетворяет следующее уравнение:

,

откуда можно найти коэффициент

. (2)

Для нахождения узлов нужно потребовать, чтобы формула (1) точно выполнялась для функций . В результате получим систему уравнений

(3)

Построим многочлен степени , для которого узлы квадратурной формулы будут корнями

. (4)

От этого многочлена можно перейти к многочлену по степеням :

. (5)

Коэффициенты будут известными элементарными симметрическими функциями корней. С другой стороны, левые части уравнений системы (3) есть суммы степеней корней :

.

В правых частях уравнений стоят значения этих функций для многочлена (4).

В алгебре многочленов хорошо известны соотношения между элементарными симметрическими функциями и функциями . Они даются следующими равенствами, которые часто называют соотношениями Ньютона:

(6)

Система уравнений позволяет последовательно найти все коэффициенты по известным значениям из систе-мы (3). По может быть построен многочлен . Узлы квадратурной формулы найдем, если приравняем нулю многочлен ; корни многочлена и будут узлами . По смыслу изучаемой задачи узлы должны быть различными, действительными и принадлежать отрезку интегрирования. Таким образом, возможно построение формулы (1), верной для многочленов w(x), коэффициенты которого найдены указанным способом.