Квадратурные формулы (стр. 4 )

при

при

На рис. 1 изображены графики различных многочленов Бернулли.

B6(x)

B2(x)

B4(x)

B5(x)

B3(x)

B1(x)

Рис. 1

Приведем несколько первых многочленов Бернулли в аналитической форме

3. Периодические функции,
связанные с многочленами Бернулли

Наряду с многочленами Бернулли можно ввести периодические функции Бернулли с периодом, равным 1, определенные по формулам

,

, n = 0, 1, 2, …,

тогда есть постоянная, равная 1; разрывная функция и имеет скачок величиной (–1) в целых точках; при – непрерывная функция.

Построим тригонометрические ряды Фурье для . С этой целью построим ряд Фурье для производящей функции

при . Воспользуемся записью ряда в показательной форме

Объединив члены ряда, соответствующие значениям индекса и , получим:

Можно показать, что для любых значений на отрезке ряд, стоящий в правой части равенства, будет сходиться при всяких , отличных от при . При этом, если исключить из ряда несколько первых членов, имеющих полюсы в ограниченной час-
ти плоскости , то оставшийся ряд будет сходиться равномерно относительно в . Легко можно оправдать возможность изменения порядка суммирования при построении степенного ряда для функ-ции .

Если считать и разложить правую часть по степеням ,

,

,

то коэффициентом при будет тригонометрический ряд для .

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях для , получим

.

Для четных и нечетных индексов вычисления дают следующие результаты:

= (1)

(2)

4. Разложение произвольной функции
по многочленам Бернулли

При построении квадратурной формулы приближенного вычисления, определенного интеграла необходимо разложение подынтегральной функции по многочленам Бернулли. Рассмотрим теорему.

Теорема 1. Если функция -кратно непрерывно дифференцируема на отрезке , то при любом имеет место равенство

(1)

Доказательство. Рассмотрим интеграл

Считая , выполним интегрирование по частям:

Если выполнить это преобразование раз, то получим формулу разложения (1).

Разложение по многочленам Бернулли -кратно непрерывно дифференцируемой функции на произвольном конечном интервале получается из формулы (1) с помощью линейного преобразования аргумента:

(2)

Контрольные вопросы

1.  Производящая функция, необходимая для вычисления чисел Бернулли. Числа Бернулли и их свойства.

2.  Производящая функция, необходимая для построения многочленов Бернулли.