Квадратурные формулы (стр. 2 )

.

В конкретном случае для веса и формул прямоуголь­ников, трапеций и Симпсона имеем и .

Для формул прямоугольников и трапеций () погрешность квадратурной формулы

;

для формулы Симпсона ()

.

Можно получить и более точные формулы оценки погрешности.

Рассмотрим универсальный способ получения наиболее точных оценок. В качестве многочлена возьмем сумму первых членов разложения функции по формуле Тейлора в точке отрезка . Обозначим сумму – , остаточный член – , тогда функция примет вид

Возьмем остаточный член в интегральной форме:

.

Подставим эту оценку в интеграл

и сменим порядок интегрирования. Получим

где

Таким образом, оценка погрешности примет вид

Образуем новую функцию

Используя новое обозначение, получим погрешность в виде

(3)

Отсюда следует оценка погрешности

(4)

Если не меняет знака на отрезке , то по теореме о среднем из формулы (3) получаем

(5)

Оценим погрешность формулы трапеций:

Подставляя в формулу (5), получим

В случае формулы прямоугольников

подставляя в формулу (5), получим

Контрольные вопросы

1.  Понятие квадратурной формулы.

2.  Формула трапеций.

3.  Погрешность квадратурной формулы.

4.  Формула Симпсона.

5.  Понятие оценки погрешности.

6.  Оценки погрешности для формул прямоугольников, трапеций и Симпсона.

 

Л е к ц и я 2

Числа и многочлены Бернулли

1. Числа Бернулли

Многочлены и числа Бернулли потребуются для построения формул Эйлера – Маклорена и других формул, служащих для увеличения точности приближенных квадратур.

Числа Бернулли могут быть определены с помощью производящей функции. Пусть – комплексная переменная. Рассмотрим функцию

(1)

Точки , где – любое целое число, являются нулями знаменателя; все они простые. В круге функция регулярна и может быть разложена в степенной ряд по степеням :

. (2)

Числа называются числами Бернулли.

Если в формуле (2) обе части умножить на , то получится следующее равенство:

Из формулы видно, что , и для 2, 3, … должно выполняться равенство

.

Это равенство позволяет последовательно вычислить все числа Бернулли. Ему можно придать более удобную форму, если умножить обе части на и прибавить в обеих частях :

Можно проверить, что все числа Бернулли с нечетными индексами, большими единицы, равны нулю:

(3)

Значения нескольких первых чисел Бернулли с четными индексами имеют вид

При вычислении чисел Бернулли четных номеров используется формула

(4)

При больших справедливо приближенное равенство

2. Многочлены Бернулли

Определим многочлены Бернулли с помощью производящей функции

(1)

Функция регулярна в круге и может быть разложена в ряд по степеням :

(2)

Функция является многочленом степени и называется многочленом Бернулли. Получим формулу для многочлена Бернулли. Множитель в формуле (1) заменим рядом и дробь заменим по формуле (1.2). Тогда получим тождество

Сравнение коэффициентов при приводит к равенству

После умножения на получается выражение для :

(3)

Формула (3) показывает, что многочлен Бернулли есть многочлен, старший член которого равен