Квадратурные формулы (стр. 18 )

Теорема 1. Для того, чтобы квадратурный процесс (3) разд. 1 сходился для всякой функции , непрерывной на отрезке , необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1)  процесс сходится для всякого многочлена;

2)  существует число такое, что при выполняется неравенство

. (1)

Доказательство. Если на множестве функций, непрерывных на , определить норму следующим способом: , то такое множество можно рассматривать как линейное нормированное пространство типа Банаха. Квадратурная сумма и интеграл есть два линейных функционала, определенных на . Значения и принадлежат числовому пространству, которое также принадлежит пространству типа Банаха.

К задаче выяснения условий сходимости квадратурного процесса , может быть применена теорема Банаха о сходимости последовательности линейных операторов. Необходимым и достаточным условием сходимости является выполнение двух требований: 1) сходимость на множестве элементов, всюду плотном в пространстве, где определены операторы, и 2) ограниченность в совокупности норм операторов.

За множество, всюду плотное в , по теореме Вейерштрасса о возможности сколь угодно точного равномерного приближения всякой непрерывной функции многочленами может быть принято множество алгебраических многочленов, и первым требованием в рассматриваемой задаче будет требование сходимости квадратурного процесса для всякого многочлена.

Норма функционала имеет значение

.

Выполнение неравенства (1) есть требование ограниченности в совокупности норм функционалов . Теорема доказана.

Две следующие теоремы являются следствиями теоремы 1.

Теорема 2. Если все коэффициенты неотрицательны, то для сходимости квадратурного процесса для данной непрерывной функции необходимо и достаточно, чтобы он сходился для всякого многочлена.

Доказательство. Необходимость условия теоремы очевидна. Достаточность условия видна из того, что для многочлена нулевой степени должна выполняться сходимость

.

Поэтому значения ограничены: . Но

,

и выполняется не только первое, но и второе условие теоремы 1, и процесс сходится для всякой непрерывной функции.

Частный вид теоремы 1 можно сформулировать в виде теоремы 3, в которой коэффициенты квадратурной формулы ограничены и конечны.

Теорема 3. Для сходимости интерполяционного квадратурного процесса для любой непрерывной функции необходимо и достаточно выполнение неравенства

.

Доказательство. Второе условие теоремы 1 является также условием теоремы 3, первое условие теоремы 1 выполнено, так как если есть многочлен, то, когда станет больше степени многочлена, будет выполняться равенство .

Выясним условия сходимости квадратурного процесса в классах дифференцируемых функций. Введем кусочно-постоянную функцию . Наряду с ней будем рассматривать первообразные функции любого порядка , удовлетворяющие начальным условиям :

. (2)

Теорема 4. Для того, чтобы квадратурный процесс (1) при сходился для всякой функции , необходимо и достаточно выполнение условий:

1)  процесс сходится для многочлена;

2)  полные вариации первообразных функций порядка r , ограничены в совокупности:

.

Доказательство. Если при , разлагая по формуле Тейлора около точки , можно представить функцию в форме

.

Наоборот, каковы бы ни были числа , непрерывная на отрезке функция , , определенная такой формулой, принадлежит классу .

Остаток квадратуры вычисляется по следующей формуле, характерной для класса :

(3)

Сходимость квадратурного процесса, ввиду независимости параметров формулы и , равносильна тому, что при

(4)

и

. (5)

Формулы (4) и (5) означают, что квадратурный процесс должен сходиться для всякого многочлена степени .

Условие (5) должно выполняться при любой непрерывной функции . Если на множестве функций ввести норму , то мы можем его рассматривать как пространство . По теореме Банаха, стремление к нулю при равносильно выполнению двух требований:

1.  Функционал должен стремиться к нулю на множестве элементов, всюду плотном в . Но требование , когда есть полином любой степени, совместно с формулой (4) эквивалентно тому, что квадратурный процесс должен сходиться для всякого многочлена.

2.  Нормы функционалов , , должны быть ограничены в совокупности: