Квадратурные формулы (стр. 22 )

.

Вторая координата разыгрывается по формуле

.

Плотность распределения по третьей координате при фиксированных первых двух координатах пропорциональна . Для нормировки надо положить

,

тогда интеграл по ячейке равен единице. Соответственно формула разыгрывания имеет вид

.

Подставляя полученные координаты в формулу (1), вычислим искомый интеграл.

Нелегко подобрать такой вид плотности , чтобы она содержала основные особенности подынтегральной функции. Обычно пытаются выделить плотность вида , ибо тогда каждая координата разыгрывается независимо от остальных и легче подобрать интегрируемые выражения для одномерных плотностей.

Какими методами удобнее вычислять интегралы – сеточными или статистическими? Точность метода статистических испытаний невелика, и для однократных интегралов он явно невыгоден. Для многих измерений положение резко меняется.

Пусть функция переменных интегрируется по сеточным формулам -го порядка точности, причем сетка имеет шагов по каждой переменной. Тогда полное число узлов есть , а погрешность расчета . Поэтому число узлов, требуемое для достижения данной точности , есть ; оно экспоненциально растет при увеличении числа измерений.

При интегрировании методом статистических испытаний погрешность . Поэтому полное число узлов есть независимо от числа измерений.

Очевидно, если число измерений , то сеточные методы требуют меньшего числа узлов и более выгодны. Если , то статистические методы выгодней. Чем больше число измерений, тем больший выигрыш дают статистические методы.

Контрольные вопросы

1.  Понятие случайной величины.

2.  Равномерное распределение случайной величины.

3.  Разыгрывание случайной величины.

4.  Псевдослучайные числа.

5.  Вычисление интеграла методом Монте-Карло.

6.  Вычисление кратных интегралов сеточным методом.

7.  Вычисление кратных интегралов статистическим методом.

Список литературы

1. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жу­ков, Г. П. Кобельков. – М.: Наука, 1987. – 599 с.

2. Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Кры­­лов. – М.: ГИФМЛ, 1959. – 327 с.

3. Крылов, В. И. Справочная книга по численному интегрированию / В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина. – М.: Наука, 1966. – 370 с.

4. Крылов, В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Боб­ков, Т. И. Монастырский. – Т. 1. – М.: Наука, 1976. – 303 с.

5. Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Николь­ский. –М.: Наука, 1988. – 255 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Л е к ц и я 1. Простейшие квадратурные формулы..................................................... 4

Л е к ц и я 2. Числа и многочлены Бернулли................................................................ 11

Л е к ц и я 3. Квадратурные формулы и задачи, связанныес с ними.......................... 23

Л е к ц и я 4. Интерполяционные квадратурные формулы........................................ 32

Л е к ц и я 5. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени

точности .......................................................................................................................... 45

Л е к ц и я 6. Квадратурные формулы с наименьшей оценкой остатка ..................... 54

Л е к ц и я 7. Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы........... 66

Л е к ц и я 8. Квадратурные формулы с равными коэффициентами......................... 73

Л е к ц и я 9. Сходимость квадратурного процесса.................................................... 79

Л е к ц и я 10. Простейшие способы вычисления кратных интегралов..................... 86

Л е к ц и я 11. Метод статистических испытаний........................................................ 91

Список литературы........................................................................................................ 100