Практикум по статистике (стр. 16 )

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся на 1 человека, м2	До 5	5—10	10—15	15—20	20—25	25—30	30 и более
Число жителей	8	95	204	270	210	130	83

С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится средний размер общей площади в генеральной совокупности.

Решение.

Промежуточные расчеты

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся на 1 человека, м2	Число жителей, f	Середина интервала,
До 5,0	8	2,5	20,0	50,0
5,0—10,0	95	7,5	712,5	5343,75
10,0—15,0	204	12,5	2550,0	31875,0
15,0—20,0	270	17,5	4725,0	82687,5
20,0—25,0	210	22,5	4725,0	106321,5
25,0—30,0	130	27,5	3575,0	98312,5
30,0 и более	83	32,5	2697,5	87668,75
Итого	1000		19 005,0	412259,0

 

Выборочная средняя:

.

Рассчитываем дисперсию:

.

Рассчитываем среднеквадратическое отклонение:

.

Определяем среднюю ошибку выборки:

.

Рассчитываем предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (коэффициент доверия t = 2):

.

Определяем границы изменения генеральной средней:

.

Вывод. На основании проведенного выборочного исследования с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний размер общей (полезной) площади, приходящейся на одного человека, в целом по городу находится в пределах от 18,5 до 19,5 м2.

Пример 6.2. Для определения средней длины детали следует провести исследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей необходимо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 3 мм с вероятностью 0,997 при среднем квадратическом отклонении 6 мм? Ошибка и среднее квадратическое отклонение заданы, исходя из технических условий.

При Р = 0,997 → t = 3. Тогда n = (32×62) / 32 = 36 деталей.

Пример 6.3. Методом собственно-случайного (или механического) бесповторного отбора из общей численности работников предприятия (5 тыс. чел.) было отобрано 500 работников. Установлено, что 20% работников в выборке старше 60 лет.

Определить с вероятностью 0,683 пределы, в которых находится доля работников предприятия в возрасте старше 60 лет.

Решение.

Средняя ошибка выборочной доли работников старше 60 лет определяется следующим образом (см. табл.1.2)

С вероятностью 0,683 предельная ошибка выборочной доли работников старше 60-ти лет составит

Верхняя граница генеральной доли

Нижняя граница генеральной доли

Вывод: С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников в возрасте старше 60 лет на предприятии колеблется от 18,3% до 21,7%.

Пример 6.4. При обследовании 100 изделий, отобранных из партии методом механического (или собственно-случайного) повторного отбора, 10 изделий оказались дефектными. Определить с вероятностью 0,866 пределы, в которых находится доля дефектных изделий в партии.

Решение.

Для дефектной продукции в выборочной совокупности

Средняя ошибка выборочной доли дефектных изделий равна

Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0.866

Вывод: С вероятностью 0,866 можно утверждать, что доля дефектной продукции в партии колеблется от 5,5% до 14,5%.

Пример 6.5. В трех районах 30 тыс. семей. В первом районе - 15 тыс.; во втором - 12 тыс. и в третьем - 3 тыс. семей. Для определения числа детей в семье была проведена 10%-я типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности единиц типических групп. Внутри групп применялся метод случайного бесповторного отбора. Результаты выборочного обследования семей в трех районах представлены:

Номер района	Число семей в районе	Среднее число детей в семье	Среднее квадратическое отклонение
1 2 3	15000 12000 3000	1,3 1,8 0,8	1,2 2,5 0,5

С вероятностью 0,997 определить предел, в котором находится среднее число детей в семье в трех районах.

Решение.

Объем выборки в каждой типической группе (районе) nj

где Nj - число семей в j - м районе;

Число семей, выбранных для обследования в каждом районе при условии, что численность выборочной совокупности n по трем районам равна 3000 семей

семей;

семей;

семей.

Среднее число детей в семье по трем районам в выборочной совокупности (выборочная средняя) с учетом численности отобранных групп

чел.

Средняя из групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия)

Средняя ошибка выборочной средней при типической выборке (средняя ошибка среднего числа детей в семье)

чел.

Предельная ошибка средней с вероятностью 0,997 составит

чел.

Вывод: С вероятностью 0,997 можно утверждать, что в трех районах среднее число детей в семье находится в пределах

6.2 Задачи и упражнения

6.1. В районе А проживает 2000 семей. Предполагается определить средний размер семьи в районе по выборке, взятой методом механического (или собственно-случайного) бесповторного отбора. При этом с вероятностью 0,997 ошибка среднего размера семьи в выборке (выборочной средней) не должна превышать 0,8 человека при среднем квадратическом отклонении в размере семьи 2 человека.

Определить необходимую численность выборки для определения среднего размера семьи в районе.

6.2. Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного (или механического) повторного отбора.

Определить, какое количество деталей необходимо отобрать (численность выборки), чтобы ошибка выборки (ошибка выборочной средней) не превышала 2 мм с вероятностью 0,988 при среднем квадратическом отклонении 8 мм.

6.3. В городе А имеется 10 тыс. семей. С использованием метода выборочных наблюдений предполагается определить долю семей с числом детей три и более.

Определить численность выборки, чтобы при механическом (или собственно-случайном) отборе с вероятностью 0,954 ошибка выборки (доли семей с числом детей три и более) не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2.

6.4. Для изучения оснащения 500 предприятий основными производственными фондами было проведено 10%-е выборочное обследование методом собственно-случайного (или механического) отбора, в результате которого получены следующие данные о распределении предприятий по стоимости основных производственных фондов:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн тнг	До 20	20-40	40-60	Свыше 60	Итого:
Число предприятий	5	12	23	10	50

Определить: