Заметим, что 
,
,
Выразим отсюда Dx:
.
Подставим полученное выражение для 
в приращение :
Заметим, что единственным линейным по h слагаемым будет
. Тогда линейная часть суммарного приращения DF равна
(7.2)
Это выполнено "h: h(a)=0, в частности, "h: h(a)=h(x)=0, что по лемме Лагранжа приводит к уравнению Эйлера:
=0.
Тогда на экстремали интеграл в (7.2) равен нулю за счет уравнения Эйлера. Тогда в силу произвольности h(x) получим условие трансверсальности:
. (7.3)
Замечание. Если не закреплен левый конец траектории, то для этого конца выписываем аналогичное условие, если скользят оба конца траектории, то выписываем два условия.
План решения задач со свободными концами .
1. Выписать и решить соответствующее уравнение Эйлера. В результате получим семейство экстремалей 
.
2. Из условия трансверсальности (7.3), граничного условия x(a)=xa и уравнения 
определить постоянные C1,C2,x.
Пример 1. Найти экстремаль в следующей задаче
Решение.
Выпишем уравнение Эйлера:
Разделим обе части уравнения на t:
.
Введем замену переменной
и получим уравнение:
.
Откуда получим
.
Выразим отсюда переменную v:
.
Вернемся к замене и получим уравнение:
.
Откуда находим
.
Подставляем краевое условие и находим константу: С2=–1.
Поскольку правый конец траектории скользит по вертикальной прямой t=e, воспользуемся условием трансверсальности (7.1):
, или , или
.
Откуда находим вторую константу:
.
Тогда искомая экстремаль имеет вид:
.
Пример 2. Найти кратчайшее расстояние от точки А(–1,5) до параболы 
.
Решение. Вводим функционал:
.
Зная, что левый конец экстремали зафиксирован в точке А, получим краевое условие: x(-1)=5.
Правый конец экстремали скользит по кривой 
.
Получили задачу со скользящим концом:
, x(–1)=5, .
Поскольку функция под интегралом функционала зависит только от 
, экстремалями в данной задаче будут всевозможные прямые 
.
Пусть x– точка пересечения экстремали и кривой b(t).
Поскольку правый конец траектории скользит по кривой, воспользуемся условием трансверсальности (7.3): 
.
Условие трансверсальности для нашей задачи имеет вид:
.
Преобразуем его и получим 
.
Итак, выпишем все условия:
(подставили краевое условие),
(условие того, что экстремаль и кривая b(t) пересекаются),
(условие трансверсальности),
, откуда 
,
(точка x лежит на экстремали),
(точка x лежит на кривой b(t)).
Таким образом, получим систему:
Решая полученную систему, найдем неизвестные С1, С2, x:
С1 =–2, С2=3, x.=1.
Тогда искомая экстремаль будет иметь вид: 
.
Подставив полученные константы в функционал, найдем кратчайшее расстояние 
.
8. Необходимые условия экстремума второго порядка
8.1. Необходимое условие Лежандра
Рассматривается задача:
с краевыми условиями x(a)=xa, x(b)=xb в классе x(t)ÎC1[a,b], функция 
трижды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных.
Тогда можно показать, что функционал F(x) дважды дифференцируем по Фреше.
Рассмотрим приращение функционала:
где
,
,
,
.
Таким образом
если 
.
Выделим отсюда вторую производную
Преобразуем второе слагаемое
(первое слагаемое равно нулю в силу закрепленных концов).
Таким образом,
Пусть
Тогда 
Получим необходимое условие экстремума второго порядка или условие Лежандра.
Теорема (условие Лежандра). Пусть функционал F(x) имеет в точке 
минимум (максимум) и существует 
, тогда
Док-во. от обратного. Проведем доказательство для случая минимума. Пусть существует точка t*Î[a,b] такая, что
. В силу непрерывности, без ограничения общности, можно считать, что точка t* не лежит на границе отрезка [a,b]. Тогда существует окрестность 
точки t* такая, что 
,
. В то же время, по необходимому условию минимума, 
,
. Построим функцию 
, такую, что
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)