С1=0, С2=0, С3=0, С4=1,
Таким образом, x1=sint, x2=–sint.
5.5. Уравнение Эйлера для функционалов, зависящих от производных высших порядков
Исследуем на экстремум функционал
,
где f – функция, дифференцируемая n+2 раза по всем аргументам, x(t)ÎCn[a;b], а краевые условия имеют вид
x(a)= , 
(a)= ,…, x(n-1)(a)= ,
x(b)= , 
(b)= ,…, x(n-1)(b)= .
Экстремали в данной задаче находятся из уравнения Эйлера–Пуассона, которое имеет вид
.
Пример. Найти экстремаль функционала
x(0)=0, (0)=1, x(1)=0, (1)=2,5.
Решение. Уравнение Эйлера–Пуассона имеет вид:
Общее решение полученного дифференциального уравнения имеет вид
Подставляем граничные условия в 
и находим:
C1=
, C2= –3, C3=1, C4=0.
Искомая экстремаль имеет вид
6. Условный экстремум
Существуют различные задачи на условный экстремум. Рассмотрим некоторые из них.
6.1. Задача с ограничениями типа равенств
Пусть f(x), gk(x): Rn ® R, – функции n переменных, отображающие пространство Rn в R.
Конечномерной экстремальной задачей с ограничениями типа равенств называется следующая задача в Rn:
f(x)® extr; gk(x)=0, 
. (6.1)
Считаем, что все функции f(x), gk(x) обладают определенной гладкостью.
Для решения данной задачи применяется правило множителей Лагранжа.
Приведем его формулировку без доказательства.
Теорема. Пусть 
– точка локального экстремума в задаче (6.1), а функции f(x), gk(x), - непрерывно дифференцируемы в окрестностях точки .
Тогда существует ненулевой вектор множителей Лагранжа 
l¹0, такой, что для функции Лагранжа задачи (6.1)
выполняется условие стационарности:
.
6.2. Изопериметрическая задача
Изопериметрической задачей называется следующая экстремальная задача в пространстве C1[a;b].
Найти экстремум функционала
(6.2)
при условии
Теорема. (Необходимое условие.) Пусть =
–точка локального экстремума в задаче (6.2), а функции f,g – дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных на отрезке [a,b]. Функционалы F(x), G(x) дифференцируемы по Фреше в точке , т. е. существуют 
и 
, но не является стационарной точкой функционала G(x), т. е. существует такое h1, что 
.
Тогда 
для любых h, таких, что 
.
Сформулируем вспомогательное утверждение для доказательства данной теоремы.
Утверждение 1. Уравнение
, где h1ÎX:
разрешимо относительно s=s(t), причем s(t)=o(t).
Док-во. Уравнение при условии на h1: 
эквивалентно следующему:
При h=th0+sh1 рассмотрим приращение DG и воспользуемся дифференцируемостью функционала G(x):
Рассмотрим функцию
j(t,s) = 
.
При фиксированных 
, j(t,s) – это функция двух вещественных переменных, причем по лемме Ферма она является дифференцируемой по t и s в нуле, следовательно, и остаток 
дифференцируем по t и s в нуле и
и 
.
Тогда 
. По теореме о неявной функции существует s=s(t) в окрестности нуля. Тогда
.
И, следовательно, s=o(t). Утверждение доказано.
Док-во теоремы (от обратного). Пусть существует h0:
, но 
.
Рассмотрим направление h=th0, tÎR. Поскольку мы не можем гарантировать, что вдоль всего направления точки +th0 являются допустимыми (т. е. G(+th0)=C), то введем некую поправку sh1, где h1: 
, и будем рассматривать h=th0+sh1. Точки +th0+sh1 по утверждению 1 могут быть сделаны допустимыми, т. е. G(+th0+sh1)=C.
Рассмотрим приращение функционала F(x) вдоль h=th0+sh1 и воспользуемся дифференцируемостью F(x) в точке :
Так как h0, h1 – фиксированные элементы, то 
и 
– константы. В силу дифференцируемости F(x) по Фреше остаток 
оценивается следующим образом:
при 
.
s(t)=o(t), т. е. 
.
Таким образом, знак приращения DF в некоторой окрестности точки определяется знаком первого слагаемого 
, где A=const, и меняется в зависимости от t, т. е. в точке экстремума нет. Полученное противоречие и доказывает теорему.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)