Утверждение (единственность производной Фреше).
Пусть F(x): X®R дифференцируем по Фреше в точке xÎX. Тогда производная Фреше 
=L(
)[h] определена однозначно. (Определение корректно.)
Док-во. От обратного, действительно, пусть
DF = L1()[h] + r1(,h) и DF = L2()[h] + r2(,h) при 
<d.
Тогда
0= L1()[h] – L2()[h] + r1(,h) – r2(,h).
Обозначим L()[h] = L1()[h] – L2()[h], r(,h) = r1(,h) – r2(,h).
Тогда получим
0= L( )[h] + r( ,h), т. е. L( )[h] = – r( ,h).
Из определения производной имеем
"e>0 $d1(e,x): <d1 такое, что 
Значит, 
, когда £d1(e,x).
Имеем
или, в силу линейности функционала L()[h],
,
или 
, где 
.
Тогда по определению нормы функционала имеем
для любого e>0, т. е.
, а следовательно, Lº0, т. е. L1 = L2, т. е. производная определена однозначно. Утверждение доказано.
Пример.
Рассмотрим функционал F(x): C1[a,b] ® R, определенный следующим образом:
F(x)=
, где x(t)ÎC1[a,b], функция f(t,x(t),
(t)) дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных.
Докажем, что этот функционал дифференцируем по Фреше.
Док-во.
DF=F(x+h–F(x)= =
.
Разложим данное приращение по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
DF=
+
+
, где
,
,
.
Обозначим первое слагаемое в приращении за L()[h] (это слагаемое линейно по h), а второе – за r(,h).
Для доказательства дифференцируемости нужно оценить остаток:
£
£ 
£
£
.
В силу условий на функцию f(t,x,) имеем:
.
Выбираем любое e>0, так, чтобы 
.
Тогда 
.
Имеем 
, что и доказывает дифференцируемость по Фреше в C1[a,b] функционала F(x).
3. Принцип Ферма и сопутствующие утверждения
Лемма Ферма. Пусть функционал F(x): X®R дифференцируем по Фреше в точке xÎX. Тогда функция 
, hÎX, tÎR дифференцируема при t=0 и 
.
Док-во.
Рассмотрим производную функции 
в нуле:
=
=
=
=
+
.
Но 
при 
(в силу дифференцируемости F(x) по Фреше).
Тогда 
, т. е.
.
И таким образом, 
.
Что и требовалось доказать.
Замечание. Лемма остается верной и в случае дифференцируемости функционала F(x) по Лагранжу или Гато.
Упражнение 1. Доказать лемму Ферма для случаев дифференцируемости функционала F(x) по Лагранжу и Гато.
Опр.1. Функционал F(x): X®R имеет в точке x0ÎX локальный экстремум, если существует d>0 такое, что приращение DF(x0) =F(x0+h) – F(x0) не меняет знак при 
.
Причем, если DF(x0)≥0, то экстремум называется минимумом, а если DF(x0) £ 0, то – максимумом.
Принцип Ферма. Пусть функционал F(x) в точке xÎX дифференцируем (одним из трех способов) и имеет в этой точке экстремум. Тогда 
"hÎX.
Док-во. Рассмотрим функцию 
.
Поскольку F(x) имеет в точке x экстремум, то DF(x)=F(x+th)-F(x) ≥0 (или £ 0) при 
, тогда
(или £ 0) при 
для любого фиксированного h.
Таким образом, по определению функция 
имеет в точке ноль экстремум и 
(по известному факту из математического анализа).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)