Остается доказать два утверждения:
Утверждение 1. 
тогда и только тогда, когда h=0.
Утверждение 2. 
.
Док-во утверждения 1. Если h=0, то –очевидно. Докажем, что верно и обратное, т. е. если , то h(t)=0.
От обратного: пусть существует 
. Тогда
.
Таким образом,
.
Заметим, что функция h0(t)º0 является решением дифференциального уравнения 
с начальным условием h0(a)=0 и по теореме единственности не существует других решений с таким же начальным условием, что противоречит предположению о том, что 
. Стало быть, Þ h=0. Утверждение 1 доказано.
Док-во утверждения 2.
– дифференциальное уравнение. Тогда замена 
на [a,b] приводит к уравнению:
, или
, или
при 
. А это уравнение Якоби. Следовательно, w при данной замене удовлетворяет уравнению Якоби. По условию теоремы на интервале (a,b] нет сопряженных точек, тогда существует u(t) – решение уравнения Якоби, не обращающееся в ноль на (a,b]. По второму свойству решений уравнения Якоби $d*: u(t) ¹ 0 на (a-d*,b]. Таким образом, u(t) – решение уравнения Якоби, отличное от нуля на [a,b]. Таким образом, определена искомая функция 
, что и доказывает утверждение 2. А доказательство данного утверждения завершает доказательство теоремы.
Следствие. В условиях предыдущей теоремы существует такая константа c>0, что 
(т. е. 
снизу «отгораживается» от нуля).
Док-во. Рассмотрим уравнение Якоби:
, где (8.1)
.
Поскольку P(t) непрерывная на [a,b] функция и P(t)>0, tÎ[a,b], то 
. Тогда при 
, 
. Далее, рассуждая аналогично доказательству свойства 2 решений уравнения Якоби, подберем a2 (по непрерывной зависимости решения от коэффициентов) так, что на интервале (a,b] для решения уравнения (8.1) не будет сопряженных точек. Тогда, полагая c=min{a1,a2}, по теореме, доказанной выше, имеем:
, или
, откуда
, что и доказывает следствие.
8.4. Достаточные условия слабого экстремума
Рассмотрим задачу с закрепленными концами:
(8.2)
с краевыми условиями x(a)=xa, x(b)=xb в классе x(t)ÎC1[a,b], функция 
трижды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных.
Опр. 2. Говорят, что допустимая функция 
доставляет слабый локальный минимум в задаче (8.2), если существует такое d>0, что 
для любой допустимой функции x(t), для которой 
.
Теорема (достаточные условия слабого экстремума).
Пусть
– допустимая экстремаль задачи (8.2), т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера 
и краевым условиям x(a)=xa, x(b)=xb.
. на интервале (a,b] нет сопряженных точек. Тогда кривая доставляет слабый локальный экстремум функционалу F(x). Причем, если P(t)>0, то экстремум – минимум, а если P(t)<0 – максимум.
Док-во. Рассмотрим приращение функционала DF(x)[h], которое, как было показано, может быть представлено в следующем виде:
По необходимому условию экстремума 
=0. По определению доставляет слабый локальный экстремум функционалу F(x), если существует окрестность 
точки , в которой DF(x)>0 (<0). Условия 2) и 3) данной теоремы позволяют воспользоваться предыдущей теоремой и заключить, что
.
Изучим поведение остатка:
где
,
,
,
.
Введем обозначения:
, 
Тогда остаток примет вид:
.
Из непрерывности функций x(
) и h() имеем:
и 
.
Выразим h2 через 
:
.
Воспользуемся неравенством Коши–Буняковского:
. Проинтегрируем это соотношение по tÎ[a,b]:
.
Теперь оценим остаток:
Обозначив
, получим:
.
Таким образом,
DF(x)[h] 
.
Таким образом, 
при 
, т. е. приращение функционала F(x) устанавливает знак в некоторой окрестности точки ÎC1[a,b], а следовательно, достигается слабый экстремум. Что и требовалось доказать.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)