т. к. 
на всей U1. Тогда, в силу леммы II, Bw принадлежит инвариантному подпространству матрицы A и следовательно, условие линейной независимости Bw,ABw,…,An-1Bw нарушено, что противоречит условию. Полученное противоречие доказывает теорему.
Рассмотренная задача оптимального управления не является единственной экстремальной задачей. Приведем примеры других задач.
Задача с не дифференцируемыми функционалами. Пусть
– некоторые непрерывные функции, 
– заданная дифференцируемая функция. 
. Задача заключается в том, чтобы для заданной непрерывной функции найти x так, чтобы 
.
Эта задача изучается в теории наилучших приближений. Ее отличительной особенностью является то, что функционал F(x) не имеет производной.
Пусть x(t) и u(t) – функции, связанные соотношением
,
а G(x,t) – некоторая непрерывная функция. Определить u(t) при u(t)Î MÌ Rr так, чтобы 
был минимален, т. е. найти 
, т. е. 
.
Структура учебно-методического комплекса
1. Описание и программа курса «Методы оптимизации».
Методы оптимизации относятся к числу важнейших математических дисциплин. Знание их теоретических основ и умение применять их к различным прикладным задачам является необходимой составной частью общего университетского образования. Кроме того, знания элементов теории экстремальных задач и методов оптимизации требует современное инженерное и экономическое образование.
Основная цель курса – обучение учащихся основам методов оптимизации и теории экстремальных задач и умению применять полученные знания к решению различных прикладных задач.
Для реализации поставленной цели в процессе преподавания курса предусмотрено чтение лекций и проведение семинаров.
2. Сведения об авторах.
Н. – к. ф.-м. н., доцент, кафедра нелинейного анализа и оптимизации.
С. – старший преподаватель, кафедра нелинейного анализа и оптимизации.
3. Описание системы контроля знаний.
1. Баллы за работу в семестре (0–50) включают:
0–40 баллов – выполнение двух контрольных работ по 20 баллов каждая (каждая контрольная работа состоит из 5 задач по 4 балла);
0–10 баллов – посещаемость, выполнение домашней работы и активная работа на семинарах.
2. Итоговый контроль знаний (0–50 баллов) включает:
Итоговый контроль проводится в виде устного экзамена по билетам. Каждый билет состоит из двух теоретических вопросов и задачи.
0–40 баллов –2 теоретических вопроса по 20 баллов каждый;
0–10 баллов – задача.
Итоговая оценка выставляется в соответствии со следующей шкалой:
86–100 баллов – «отлично»;
69–85 баллов – «хорошо»;
51–68 баллов – «удовлетворительно»;
31–50 баллов – «неудовлетворительно» (Fx – имеется возможность пересдачи без повтора курса);
0–30 баллов – «неудовлетворительно» (F – возможность пересдачи в текущем семестре отсутствует, курс необходимо пройти заново).
В ведомость и зачетку выставляется также оценка по европейскому стандарту, в соответствии со следующей таблицей:
95–100 баллов – итоговая оценка «A»;
86–94 балла – итоговая оценка «B»;
69–85 баллов – итоговая оценка «C»;
61–68 баллов – итоговая оценка «D»;
51–60 баллов – итоговая оценка «E»
31–50 баллов – итоговая оценка «Fx»
0–30 баллов – итоговая оценка «F».
Таким образом, запись в зачетке выглядит следующим образом:
Методы оптимизации \ 4 \ Фамилия экзаменатора \ отлично (100,А) \ дата \ <Подпись экзаменатора>
Здесь число «4», стоящее в графе «Количество часов», означает количество кредитов, которые получает студент, сдавший экзамен по курсу.
4. Список вопросов к экзамену по курсу «Методы оптимизации».
1. Дифференцируемые функционалы. Производные по Лагранжу, Гато и Фреше.
2. Экстремумы дифференцируемых функционалов.
3. Единственность производной по Фреше.
4. Принцип Ферма и сопутствующие утверждения.
5. Необходимые и достаточные условия минимума дважды дифференцируемых функционалов.
6. Основные леммы вариационного исчисления.
7. Теорема существования производной 
вдоль экстремали.
8. Теорема существования второй производной экстремали.
9. Вывод уравнения Эйлера для классической задачи с закрепленными концами.
10. Специальные случаи уравнения Эйлера.
11. Задача со свободными концами. Условия трансверсальности.
12. Условный экстремум. Изопериметрическая задача. Задача Лагранжа.
13. Правило множителей Лагранжа в общем случае.
14. Необходимое условие Лежандра.
15. Уравнение Якоби и свойства его решений. Сопряженные точки.
16. Условия положительной определенности второй производной функционала.
17. Достаточные условия слабого экстремума.
18. Поле функционала. Необходимые и достаточные условия поля.
19. Инвариантный интеграл Гильберта и его свойства.
20. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия сильного экстремума.
21. Современная задача оптимального управления.
22. Линейные управляемые системы и задача оптимального быстродействия.
23. Принцип максимума Понтрягина – необходимое условие оптимальности.
24. Сопряженные системы и соответствующие леммы.
25. Достаточность принципа максимума в задаче оптимального быстродействия.
5. Программа курса «Методы оптимизации»
Тема 1. Общие понятия
1.1. Дифференцируемые функционалы. Производная Гато и Фреше.
1.2. Экстремум дифференцируемых функционалов.
1.3. Единственность производной Фреше.
1.4. Принцип Ферма и сопутствующие утверждения.
1.5. Классификация оптимальных задач.
Тема 2. Условия первого порядка в классических задачах
2.1. Основные леммы вариационного исчисления.
2.2. Теорема существования 
.
2.3. Гладкость экстремали.
2.4. Вывод уравнения Эйлера для классической задачи вариационного исчисления.
2.5. Задачи со свободными концами траектории. Условия трансверсальности.
2.6. Условный экстремум: задача Лагранжа и изопериметрическая задача.
2.7. Правило множителей Лагранжа в общем случае.
Тема 3. Условия второго порядка
3.1. Необходимое условие Лежандра.
3.2. Вторая производная классического функционала. Сопряженные точки. Уравнение Якоби и свойства его решений.
3.3. Усиленное условие Лежандра.
3.4. Достаточные условия слабого экстремума.
3.5. Поле функционала.
3.6. Достаточные условия сильного экстремума.
Тема 4. Оптимальное управление
4.1. Современная задача оптимального управления.
4.2. Линейные управляемые системы и задача оптимального быстродействия.
4.3. Принцип максимума Понтрягина – необходимое условие оптимальности.
4.4. Сопряженные системы и соответствующие леммы.
4.5.Достаточность принципа максимума в задаче оптимального быстродействия.
6. Календарный план учебных занятий по обязательной дисциплине «Методы оптимизации».
Направления подготовки «Математика. Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика», «Математика. Компьютерные науки».
Виды и содержание учебных занятий
Неделя | Лекции | Кол-во часов |
1 | Дифференцируемые функционалы. Производная Гато и Фреше | 2 |
2 | 1. Экстремум дифференцируемых функционалов | 2 |
3 | Единственность производной Фреше | 2 |
4 | Принцип Ферма и сопутствующие утверждения | 2 |
5 | 2. Классификация оптимальных задач. Основные леммы вариационного исчисления | 2 |
6 | Теорема существования Гладкость экстремали. | 2 |
7 | Вывод уравнения Эйлера для классической задачи вариационного исчисления | 2 |
8 | 3. Задачи со свободными концами траектории. Условия трансверсальности | 2 |
9 | Условный экстремум: задача Лагранжа и изопериметрическая задача | 2 |
10 | Правило множителей Лагранжа в общем случае | 2 |
11 | Необходимое условие Лежандра | 2 |
12 | Вторая производная классического функционала. Сопряженные точки. Уравнение Якоби и свойства его решений | 2 |
13 | Усиленное условие Лежандра | 2 |
14 | Достаточные условия слабого экстремума | 2 |
15 | Поле функционала. Достаточные условия сильного экстремума | 2 |
16 | 1. Современная задача оптимального управления. Линейные управляемые системы и задача оптимального быстродействия | 2 |
17 | Принцип максимума Понтрягина – необходимое условие оптимальности. Сопряженные системы и соответствующие леммы | 2 |
18 | Достаточность принципа максимума в задаче оптимального быстродействия | 2 |
19–20 | ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ – ЭКЗАМЕН |
.Список литературы
М., М., М. Сборник задач по оптимизации. М.: Наука, 1984. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. М. Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи. М.: УРСС, 2006. М., И., В. и др. Оптимальное управление. М.: МЦНМО, 2008. М., М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Издательство МГУ, 1989. Д., М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. Л., Н., И. Вариационное исчисление. М.: УРСС, 2002. С., Г., В., Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961. Е. Математический анализ. Специальный курс. М.: Физматлит, 1960.Содержание
Введение...................................................................................... 3
1. Элементы функционального анализа................................... 5
2. Вариация по Лагранжу, производная Гато, производная Фреше 7
3. Принцип Ферма и сопутствующие утверждения.............. 12
4. Экстремумы дифференцируемых функционалов............. 14
5. Необходимое условие экстремума первого порядка......... 19
5.1. Основные леммы вариационного исчисления........... 20
5.2. Вывод уравнения Эйлера для классической задачи вариационного исчисления 24
5.3. Специальные случаи уравнения Эйлера..................... 28
5.4. Уравнение Эйлера в многомерном случае................. 32
5.5. Уравнение Эйлера для функционалов, зависящих от производных высших порядков 33
6. Условный экстремум............................................................ 35
6.1. Задача с ограничениями типа равенств....................... 35
6.2. Изопериметрическая задача.......................................... 36
6.3. Решение изопериметрической задачи.......................... 40
6.4. Задача Лагранжа............................................................. 42
6.5. Правило множителей Лагранжа в общем случае....... 46
7. Задачи со свободными концами.
Условие трансверсальности.................................................... 53
8. Необходимые условия экстремума второго порядка........ 61
8.1. Необходимое условие Лежандра.................................. 61
8.2. Сопряженные точки. Уравнение Якоби и свойства
его решений........................................................................... 65
8.3. Свойство знакопостоянства второй производной функционала 68
8.4. Достаточные условия слабого экстремума......... 72
8.5. Поле функционала......................................................... 78
8.6. Инвариантный интеграл Гильберта и его свойства 81
8.7. Достаточные условия сильного экстремума.............. 82
9. Оптимальное управление..................................................... 89
9.1. Постановка задачи оптимального управления........... 89
9.2. Линейная задача оптимального быстродействия.. 91
9.3. Принцип максимума Понтрягина........................... 92
Структура учебно-методического комплекса...................... 100
Список литературы................................................................. 107
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)