x(t)=C1cost+C2sint.
Используя граничные условия, получим
=cost+Csint,
где С – произвольная постоянная.
Таким образом, поставленная вариационная задача имеет множество экстремалей.
5.3. Специальные случаи уравнения Эйлера
1. Функция 
линейно зависит от 
, т. е.
.
Тогда уравнение Эйлера имеет вид
(5.2)
Возможны два случая:
1. Полученное уравнение – алгебраическое. Если данное уравнение имеет решение x(t), то оно не содержит произвольных постоянных. Таким образом, если полученное решение x(t) не удовлетворит краевым условиям x(a)=xa, x(b)=xb, то экстремальная задача решения не имеет.
2. Если (5.2) – тождество, т. е. 
, то M(t,x)dt+N(t,x)dx – полный дифференциал.
Тогда
Таким образом, значение функционала постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача не имеет смысла.
Пример 1. Найти экстремали функционала
F(x) =
, x(a)=xa, x(b)=xb.
Решение. Здесь .
Тогда уравнение Эйлера примет вид
где
То есть 
– тождество.
Тогда 
Таким образом, вариационная задача не имеет смысла.
Пример 2. Найти экстремали в следующей задаче
, а) x(0)=0, x(
)=,
b) x(0)=0, x()=
.
Решение. Уравнение Эйлера примет вид 2t–2x=0. Получили алгебраическое уравнение, решив которое, получим:
x(t)=t.
Проверим краевые условия:
а) x(0)=0, x()=. В данном случае кривая x(t)=t удовлетворяет краевым условиям и, следовательно, = t – решение поставленной задачи;
b) x(0)=0, x()=. В данном случае полученная кривая x(t)=t не удовлетворяет краевым условиям и поставленная задача не имеет решений.
2. Функция явно от t не зависит, т. е. 
.
Тогда уравнение Эйлера имеет вид
,
Умножим обе части полученного уравнения на :
Тогда 
, таким образом, получаем первый интеграл
Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, тогда как исходное уравнение было второго порядка.
То есть в данном случае удается понизить порядок уравнения Эйлера.
3. Функция зависит только от , т. е. =
.
Уравнение Эйлера в данном случае примет вид
, т. е. 
.
Получили алгебраическое уравнение относительно .
Тогда x(t)=C1t+C2.
Таким образом, в данном случае экстремалями являются все возможные прямые = C1t+C2.
Пример. Длина дуги кривой
имеет экстремалями прямые линии = C1t+C2.
4. Функция не зависит от , т. е. =
.
Уравнение Эйлера имеет вид
и не является дифференциальным.
Решение данного уравнения x=x(t) не содержит произвольных постоянных и, как правило, не удовлетворяет краевым условиям x(a)=xa, x(b)=xb,и вариационная задача решения не имеет.
Решение вариационной задачи существует лишь в исключительном случае: когда кривая x=x(t) проходит через граничные точки x(a)=xa, x(b)=xb.
5. Функция не зависит от x, т. е. =
.
Уравнение Эйлера имеет вид
.
Тогда Получили дифференциальное уравнение первого порядка. Интегрируя его, находим экстремали задачи.
5.4. Уравнение Эйлера в многомерном случае
Пусть x(t)=(x1(t),…,xn(t)) – n-мерная вектор-функция.
f=f(t,x1,…,xn, 
,…,
) – функция 2n+1 переменных.
Рассмотрим следующую экстремальную задачу в пространстве C1([a;b],Rn):
с краевыми условиями xk(a)=
, xk(b)= , (k=1,2,…,n).
Экстремали находятся из следующей системы дифференциальных уравнений второго порядка:
,
называемой системой уравнений Эйлера.
Вывод системы уравнений Эйлера сводится к одномерному случаю.
Пример. Найти экстремали функционала
,
x1(0)=0, x1()=1, x2(0)=0, x2()=–1.
Система уравнений Эйлера имеет вид
Исключая одну из неизвестных, например x2, получаем
Характеристическое уравнение имеет вид 
Тогда общее решение этого линейного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид
Подставляем граничные условия в 
и 
, решаем полученную систему и находим константы:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)