Пример 2. Исследовать на экстремум:
Решение. Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид 
. Экстремалями являются параболы 
. Подставляем краевые условия и находим допустимую экстремаль 
.
Проверяем усиленное условие Лежандра
(возможен минимум).
Составляем уравнение Якоби 
или 
. Его общее решение 
.
Подставляем краевые условия 
и получаем 
. Данная кривая нигде на интервале (0,1] в нуль не обращается, следовательно, нет сопряженных точек, следовательно, экстремаль доставляет функционалу слабый минимум.
Функция Вейерштрасса имеет вид:
.
Отсюда видно, что для любых 
она является знакопостоянной, следовательно, на экстремали данный функционал достигает сильного минимума.
9. Оптимальное управление
9.1. Постановка задачи оптимального управления
Будем рассматривать поведение объекта, состояние которого в каждый момент времени характеризуется n фазовыми координатами x1,…,xn. Векторное пространство X переменной x=x1,…,xn является фазовым пространством рассматриваемого объекта.
Будем предполагать, что закон движения объекта записывается в виде системы дифференциальных уравнений:
, (9.1)
где f=f1(x,u),…,fn(x,u) – вектор-функция, определенная для любых значений векторной переменной xÎX.
Вектор-функцию u=u1,…,ur будем называть управлением. Определим допустимые функции u(t).
Класс допустимых управлений.
Допустимые функции – это функции u(t), удовлетворяющие одному из ниже приведенных условий I и условию II. Например,
I. Аналитические условия.
· Кусочно-непрерывные функции на отрезке [t0,T]. Это функции, непрерывные на отрезке [t0,T], всюду, за исключением конечного числа точек t1,…,tNÌ[t0,T] и разрывами I рода и u(t0+0)= u(t0), u(t1–0)= u(t1).
· Кусочно-постоянные функции.
· Измеримые и ограниченные по t, uÎL¥[t0,T].
· Гладкие функции u(t)ÎC1[t0,T].
II. Условия на значения.
· Значения функции u(t)ÌUÌRr.
Таким образом, допустимое управление u(t) удовлетворяет двум условиям: аналитической характеристике и условиям на значения.
В задаче оптимального управления присутствует краевая задача. Есть множество начальных состояний M0, т. е. x(t0)Î M0, и множество конечных состояний M1: x(t1)Î M1. В частности, можно рассматривать двухточечную задачу: x(t0)=x0 , x(t1)=x1 при M0 = x0, M1= x1.
Рассмотрим пару (x(t),u(t)), где u(t) – допустимое управление, x(t) – отвечающая этому управлению траектория системы (9.1) с краевыми условиями x(t0)=x0Î M0 и x(t1)=x1Î M1.
Рассмотрим функционал:
, где f0(x,u) – заданная функция.
Каждой паре (x(t),u(t)) ставится в соответствие число I. Этот функционал I называется критерием качества управления. Критерий качества может иметь физический смысл: расход топлива, финансовые затраты, время перехода из одной точки в другую и т. д.
Для того чтобы получить конкретную траекторию (конкретное движение), надо:
выбрать управление u=u(t) как некоторую функцию времени; задать начальное условие x(t0)=x0; решить задачу Коши
, x(t0)=x0. Тогда получим конкретное решение системы дифференциальных уравнений x(t)=x(t,x0,t0,u).
Будем говорить, что управление u(t) переводит систему (9.1) из положения x0 в положение x1, если решение x(t)=x(t,x0,t0,u), соответствующее этому u(t), таково, что x(t1)=x(t1,x0,t0,u)=x1.
Постановка задачи оптимального управления.
Требуется среди допустимых функций u(t) найти такое управление и соответствующую ему траекторию, которое переводит объект из состояния x0 в момент времени t0 в состояние x1 в момент времени t1 так, чтобы I принимал минимальное значение. Управление u(t), решающее эту задачу, называется оптимальным. Оптимальное управление u(t) и соответствующая ему траектория x(t) называются оптимальной парой (x(t),u(t)).
Если f0(x,u)=1, то функционал принимает вид I=t1–t0. Такая задача называется задачей оптимального быстродействия.
9.2. Линейная задача оптимального быстродействия
Пусть система (9.1) имеет вид:
, (9.2)
x(t0)=x0, x(t1)=x1,
I=t1–t0®min.
A= const – матрица размера n´n, B = const – матрица размера n´r, x=x1,…,xn, u=u1,…,ur.
Система (9.2) линейна по x и по u.
Пример. Управляемое движение математического маятника под действием ограниченной внешней силы (трение не учитывается).
Движение происходит вдоль оси Oy, в состоянии покоя шарик находится в точке O. Движение происходит под действием силы f(t) вдоль оси Oy. По закону Ньютона,
(упругая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия).
Тогда 
, где k – жесткость пружины. Полагая 
и 
, получим
.
Рассмотрим задачу об успокоении маятника под действием ограниченной внешней силы v(t) за минимальное время. Пусть заданы
y(0)=a,
.
Положим 
.
Получим
,
.
Получили стандартную задачу линейного быстродействия.
Приведем без доказательства следующие теоремы, которые являются необходимыми условиями оптимальности в задаче (9.1).
9.3. Принцип максимума Понтрягина
Теорема 1 (принцип максимума Понтрягина).
Пусть
x=x1,…,xn (9.3)
x(t0)=x0,, x(t1)=x1.
Рассмотрим пару (x(t),u(t)), tÎ[t0,t1], переводящую объект из x0 в x1, т. е. 
.
Рассмотрим также функцию:
H(y,x,u)=
, где 
. (9.4)
y=y0,y1,…,yn,
.
Для оптимальности процесса (x(t),u(t)) необходимо существование y(t)¹0 на [t0,t1] такого, что для почти всех t выполнено
1. 
, (9.5)
2. в конечный момент 
выполнены соотношения
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)