Из построения и непрерывной дифференцируемости указанной функции вытекает, что
при 
. Построим совокупность функций hm(t) таких, что hm(t)=h0(m(t-t*)).
Тогда
при 
.
Подставим теперь полученные функции hm(t) в функционал 
.
В полученной сумме первое слагаемое ограничено по непрерывности; второе – отрицательно (по предположению), а третье – оценивается сверху следующим образом:
, k<0.
Итак, m можно выбрать сколь угодно большим, тогда знак ограниченного интеграла не будет влиять на знак суммы. Таким образом, получим
для некоторого достаточно большого номера m, что противоречит условию 
. Теорема доказана.
Замечание. Для максимума необходимое условие Лежандра будет иметь вид: 
.
8.2. Сопряженные точки. Уравнение Якоби и свойства его решений
Рассматривается задача:
с краевыми условиями x(a)=xa, x(b)=xb в классе x(t)ÎC1[a,b], 
трижды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных.
Как было сказано, вторая производная функционала F(x) преобразуется к виду:
Подставляя в производную конкретную кривую 
, получим
где
Подынтегральное выражение
является квадратичной формой с непрерывными коэффициентами, а функции Q(t) и P(t) связаны с конкретной траекторией. Рассмотрим функционал
и напишем для него уравнение Эйлера.
, где 
Полученное уравнение называется уравнением Якоби для функционала F(x). Уравнение Якоби является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с непрерывными коэффициентами.
Опр. 1. Пусть h(t) – решение уравнения Якоби с краевыми условиями 
. Тогда точка tÎ(a,b] называется сопряженной с точкой a для кривой x(t), если h(t)=0.
Свойства решений уравнения Якоби.
1. Любое решение уравнения Якоби, удовлетворяющее условиям , представимо в виде 
, где 
– также решение уравнения Якоби, удовлетворяющее условиям 
.
Док-во. Пусть – решение уравнения Якоби и 
. Рассмотрим функцию h(t)=c. Покажем, что она тоже является решением уравнения Якоби. Действительно,
.
То есть h(t)=c также является решением, причем с начальными условиями 
. А по теореме существования и единственности другого решения с таким же начальными условиями быть не может. Что и требовалось доказать.
Замечание. Из этого свойства следует, что для нахождения сопряженных точек t не нужно рассматривать все константы c, а достаточно рассмотреть одно решение с краевыми условиями 
.
2. Если на (a,b] нет сопряженных точек, то $d*>0, такое, что на интервале (a–d*,b] также нет сопряженных точек.
Док-во. Пусть h(t) – решение уравнения Якоби с начальными условиями . Без ограничения общности, можно считать, что задача определена на более широком интервале [a1,b]. Тогда по теореме о непрерывной зависимости решения от начальных данных для произвольного решения h1(t) с начальными данными 
, причем 
, где 
. Имеем
Таким образом, если параметр a1 в начальных данных решения h1(t) отличается не более, чем на d от параметра а в начальных данных решения h(t), то само решение h1(t) заключено в пределах e –трубки траектории h(t) и не может пересекать ее. Таким образом, h1(t) может обратиться в нуль только на интервале 
. Если на интервале 
нет такой точки t1, что h1(t1)=0, то утверждение доказано. Поэтому пусть $t1Î: h1(t1)=0. Тогда по непрерывности и так как решение возрастает, $q1Î(a1,t1): 
. Выберем последовательность 
. Проводя аналогичные рассуждения для каждого интервала (a –
, a), либо на некотором шаге не найдем очередного tn и тогда искомое 
, либо если
,
то можно выбрать соответствующую последовательность таких 
. Однако поскольку при 
, то и 
, т. к. 
. По непрерывной зависимости от начальных данных, поскольку 
, то и 
. Соответственно, переходя в соотношении 
к пределу при 
, получаем 
– противоречие. Что и доказывает утверждение.
8.3. Свойство знакопостоянства второй производной функционала
Теорема. Квадратичная форма 
положительно определена, если 
на [a,b] и на интервале (a,b] нет сопряженных точек.
Док-во. Пусть 
и 
Тогда рассмотрим
, где 
, т. к. h(a)=h(b)=0 (в задаче с закрепленными концами).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)