Тогда по лемме Ферма 
, и, следовательно, 
для любого h.
Что и требовалось доказать.
4. Экстремумы дифференцируемых функционалов
Напомним, что функционал F(x): X® R имеет в точке x0ÎX локальный экстремум, если существует d>0 такое, что приращение DF(x0)=F(x0+h)–F(x0) не меняет знак при 
.
Замечание. Для дифференцируемости второго порядка, в отличие от первого, условие разложимости приращения DF в виде
с оценкой остатка
"e>0 $d>0: 
не является определением дважды дифференцируемого функционала. (Здесь B(x)[h,h] - билинейный функционал, т. е. линейный по каждому аргументу при фиксированном другом.)
Вспомним теорему о необходимом и достаточном условии минимума для функции одного переменного.
Теорема. Пусть функция f(t) дважды дифференцируема в точке t0.
Необходимое условие экстремума: если в точке t0 функция достигает локального минимума, то
.
Достаточное условие экстремума: если
,
то t0 –точка локального минимума функции.
Сформулируем аналогичную теорему для функционалов.
Теорема (необходимое и достаточное условие минимума дважды дифференцируемого функционала).
Пусть функционал F(x) дважды дифференцируем по Фреше в точке x. Необходимое условие экстремума: если точка x – точка локального минимума функционала F(x), то
Достаточное условие экстремума: если
при некотором c>0, то x – точка локального минимума функционала F(x).
Замечание. Таким образом, для функционалов требуется значительно более сильное достаточное условие, нежели для функции, – вторая производная должна быть отделена от нуля в соответствии с приведенной оценкой.
Док-во. Необходимость
Если функционал F(x) достигает минимума, то по принципу Ферма 
. Тогда приращение функционала примет вид
.
Пусть 
, т. е. 
и 
Учитывая такое представление остатка, по определению минимума выпишем условие знакопостоянства приращения:
при 
.
Выберем произвольное hÎX и зафиксируем его. Рассмотрим направление th, tÎR:
=
=
.
Так как 
ограничена, 
, а e – произвольно. Таким образом, варьируя e, мы всегда можем добиться того, чтобы знак приращения DF определялся знаком первого слагаемого 
, следовательно, 
,
.
Достаточность
Запишем приращение в следующем виде:
, .
Используем имеющуюся оценку второй производной:
.
Учитывая, что 
, а величина e в нашей власти, можно утверждать, что знак приращения определяется первым слагаемым 
.
То есть $e>0: DF≥0, т. е. функционал F(x) достигает минимума. Что и требовалось доказать.
Покажем на примере, что совокупность ограничений
не является достаточным условием экстремума дважды дифференцируемого функционала.
Пример.
Рассмотрим функционал F(x): X® R.
F(x)=
x(t)ÎC[0;1], x0(t)º0.
В точке x0(t)º0 выполнены условия 
но экстремума в этой точке нет.
Действительно,
=
.
Пусть 
. Оценим остаток:
, т. е.
при 
.
Проверим условия: 
, т. е. 
. 
при h¹0. Итак, условия выполнены.
Покажем, что точка x=0 не является точкой минимума для данного функционала. Пусть функция he(t) имеет вид:
Очевидно, что 
.
Предположим, что функционал F(x) имел бы в точке x минимум, тогда приращение имело бы постоянный знак в некоторой окрестности этой точки
.
Однако 
Таким образом, 
, и стало быть, минимума нет.
5. Необходимое условие экстремума первого порядка
Рассмотрим задачу классического вариационного исчисления:
F(x) =
x(a)=xa, x(b)=xb.
Здесь tÎ[a;b], 
– функция трех переменных, дважды непрерывно дифференцируемая по совокупности аргументов.
Экстремум в задаче рассматривается среди функций x(t)ÎC1[a;b], удовлетворяющих краевым условиям x(a)=xa, x(b)=xb. Такие функции называют допустимыми.
Опр.1. Допустимая функция 
доставляет слабый локальный минимум в поставленной задаче, если существует такое d>0, что для любой допустимой функции x(t), для которой 
, выполнено неравенство
F(x(t)) 
.
Замечание. Наряду со слабым экстремумом в классическом вариационном исчислении изучается также сильный экстремум. Речь об этом пойдет в пункте 8.7.
Итак, пусть функционал F(x) достигает на функции x(t) экстремума, тогда по принципу Ферма
, "h. (5.1)
Возникает проблема нахождения функций x(t), удовлетворяющих (5.1). Для нахождения таких функций используется необходимое условие экстремума первого порядка, называемое уравнением Эйлера, которое имеет вид
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)