Методы оптимизации (стр. 16 ) | Авторская платформа Pandia.ru

y0(t1)£0 и M(y(t1),x(t1))=0.

Теорема 2. Если функции u(t) и x(t), y(t), t0£ t £t1 удовлетворяют соотношениям (9.3), (9.4), и (9.5), то функция H(t)=H(y(t),x(t),u(t)) =const при tÎ[t0,t1].

Замечание. Если система, описывающая поведение объекта, линейна, то принцип максимума, сформулированный в виде теоремы I, остается, естественно, в силе. Функция H(t)=H(y(t),x(t),u(t)) для задачи оптимального быстродействия имеет вид:

H(t)=H(y(t),x(t),u(t))=(y,Ax)+(y,Bu), где

, y¹0.

Согласно принципу максимума, операция нахождения максимума почти для каждого tÎ[t0,t1] сводится к нахождению максимума . Поэтому в задаче оптимального быстродействия рассматривается

H(y,x,u)= (y,Bu).

Рассмотрим задачу оптимального быстродействия для системы:

, где

A=const – матрица размера (n´n), B=const – матрица размера (n´r), x(t0)=x0,, x(t1)=0.

Допустимыми являются управления, удовлетворяющие условиям:

I. u(t) – кусочно-непрерывные;

II. Значения u(t) принадлежат выпуклому многограннику WÌRr.

Задача: требуется найти допустимые управления u:

I=t1–t0®min.

Опр. 1. Под выпуклым многогранником (в случае r-мерного пространства) понимается пересечение конечного числа полупространств, если оно является ограниченным множеством.

Опр. 2. Множество называется выпуклым, если с каждыми двумя точками оно содержит весь отрезок, их соединяющий.

Теорема 3. У любого выпуклого многогранника есть несущая k-мерная гиперплоскость, k£ n.

Теорема 4. Граница любого k–мерного многогранника состоит из конечного числа k-1 мерных многогранников, которые называются гранями.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Лемма I. Пусть u(t) – произвольное допустимое управление, tÎ[t0,t1], а x(t)=x(t,x0,t0,u). Пусть y(t)¹0 произвольное решение системы . Тогда во всех точках непрерывности u(t) выполнено соотношение:

и, следовательно,

Док-во.

Лемма доказана.

Лемма II. Пусть y(t)¹0 – решение системы , a¹ 0 вектор из пространства X . Если для всех tÎ(q0,q1) выполнено соотношение (y(t),a)=0, то a принадлежит собственному инвариантному подпространству матрицы A, т. е. a,Aa,…,An-1a – линейно зависимы.

Док-во. Пусть Y – множество всех y из X таких, что (y(t),y)=0 при tÎ(q0,q1), тогда Y – подпространство, т. к, если y1ÎY и y2ÎY, то y1+ y2ÎY и ky1,2ÎY. По условию, aÎY, т. е. Y¹Æ. По условию, y(t)¹0 при tÎ(q0,q1) и, следовательно, Y¹X (в противном случае y^X и тогда yº0). Докажем, что Y – инвариантное подпространство. Пусть yÎY, т. е. (y(t),y)=0, следовательно, . Таким образом, AyÎY и AYÌY, т. е. Y – инвариантное подпространство и aÎY . Лемма доказана.

Пусть W – выпуклый многогранник и 0ÎW и не является его вершиной.

Предположим, что для любого вектора w, параллельного произвольному ребру многогранника, выполнено условие: Bw не принадлежит никакому собственному инвариантному подпространству матрицы A, т. е. Bw, ABw,…, An-1Bw – линейно независимы, т. е. rang(B, AB,…, An-1B)=n.

Теорема 5. Пусть – допустимое управление, переводящее объект из заданного начального состояния x0 в положение x1=0. Для оптимальности управления необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло принципу максимума Понтрягина.

Док-во. По теореме 1 принцип максимума Понтрягина – необходимое условие, выполненное для данной задачи.

Докажем достаточность. Для линейной задачи оптимального быстродействия, как указано выше,

H(y,x,u)=(y,Bu).

И так как – управление, удовлетворяющее принципу максимума Понтрягина, то существует y¹0, такое, что . Тогда почти для любого tÎ[t0,t1]. Предположим, что не оптимально, тогда существует и q <t1 такие, что

В силу условия максимума имеем

. (9.6)

Так как по условию задачи, то

По лемме I имеем для tÎ(t0,q)

Рассмотрим t=q и получим

т. е. из (9.6) имеем

. (9.7)

С другой стороны, так как 0ÎW и линейно по u, то

. (9.8)

По лемме I

Вычтем почленно из первого равенства второе:

Так как по условию, то =0 и учитывая (9.8), имеем

(9.9)

Тогда из (9.7) и (9.9) получаем на (q,t1)

Тогда

Пусть U1 – грань многогранника такая, что 0ÎintU1 (по условию 0 не является вершиной). U1 может совпадать с W либо быть его гранью. Но dimU1³1. Т. к. во внутренней точке U1 и, кроме того, , то, в силу линейности по u, и для любого tÎ(q,t1)