8.6. Инвариантный интеграл Гильберта и его свойства
Пусть g – некоторая кривая, xÎRn.
Опр. 6. Интегралом Гильберта называется криволинейный интеграл вида:
, где
Пусть 
=y(t,x) задает поле функционала F(x) такое, в которое одна из экстремалей входит как составляющая, y(t,x) – наклон поля. Обозначим кривую g через 
. Рассмотрим 
на поле функционала F(x), тогда
Свойства интеграла Гильберта.
I. Если является элементом поля, т. е. 
=y(t, 
), то J(x)=F(x). Доказательство очевидно.
II. не зависит от пути интегрирования g, а зависит только от начальной и конечной точки пути.
Док-во. По критерию поля условия I и II являются необходимыми и достаточными условиями того, что под интегралом Гильберта стоит полный дифференциал, и таким образом, интеграл не зависит от пути.
8.7. Достаточные условия сильного экстремума
Рассмотрим следующую задачу:
(8.5)
с краевыми условиями x(a)=xa, x(b)=xb в классе x(t)ÎC[a,b], функция 
трижды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных.
Опр. 7. Говорят, что допустимая функция 
доставляет сильный локальный минимум (максимум) в задаче (8.5), если существует такое d>0, что F(x)³F(
) (F(x)£ F()) для любой допустимой функции x, для которой 
.
Теорема (достаточные условия сильного экстремума).
Пусть
I. =– допустимая экстремаль задачи (8.5), т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера 
и краевым условиям x(a)=xa, x(b)=xb;
II. =может быть окружена полем;
III. Функция Вейерштрасса
или 
для любых 
Тогда =доставляет сильный локальный экстремум функционалу F(x).
Док-во. Рассмотрим приращение функционала F(x) и воспользуемся свойствами интеграла Гильберта:
Имеем 
Таким образом, если для любых
функция Вейерштрасса 
(или £ 0), то и DF³ 0 (или £ 0), т. е. экстремаль доставляет функционалу F(x) экстремум (по определению), что и доказывает теорему.
Замечание. Условия:
а)
и
б) на интервале (a,b) нет сопряженных точек t,
являются достаточными условиями того, что экстремаль можно окружить полем. Утверждение приводим без доказательства.
Учитывая приведенное замечание, достаточные условия сильного экстремума могут быть сформулированы в виде следующей теоремы.
Теорема (достаточные условия сильного экстремума).
Пусть
I. =– допустимая экстремаль задачи, т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера и краевым условиям x(a)=xa, x(b)=xb;
II. Выполнено усиленное условие Лежандра: 
;
III. На интервале (a,b] нет сопряженных точек;
IV. Функция Вейерштрасса
или для любых
Тогда доставляет сильный локальный экстремум функционалу F(x).
Замечание. Известно, что условия II, III, IV являются также и необходимыми условиями экстремума. Тогда, если какое-то из данных условий не выполнилось, то экстремума в задаче нет.
План исследования на сильный экстремум.
Для исследования задачи на сильный экстремум нужно:
1. Выписать уравнение Эйлера .
2. Решив полученное дифференциальное уравнение, найти решение x=x(t,C1,C2).
3. Воспользовавшись краевыми условиями x(a)=xa, x(b)=xb, найти произвольные постоянные C1, C2.
4. Проверить выполнение усиленного условия Лежандра: .
5. Составить уравнение Якоби: 
.
6. Решить полученное дифференциальное уравнение с краевыми условиями
.
7. Проверить, обращается ли полученное решение h(t) в ноль на интервале (a,b] (графически или аналитически). Тем самым выяснить, есть ли сопряженные точки на интервале (a,b].
Если не выполнилось какое-либо из условий 4,7, то слабого, а тем более сильного, экстремума в задаче нет.
8. Выписать функцию Вейерштрасса и проверить, сохраняет ли она знак для любых
Если не выполнено условие Вейерштрасса, то в этом случае найденная допустимая экстремаль не доставляет сильного экстремума в классе функций из пространства C[a,b].
Пример 1. Исследовать на экстремум:
Решение. Экстремалями данного функционала являются прямые 
Подставляем краевые условия и получаем допустимую экстремаль 
Проверяем усиленное условие Лежандра
(возможен минимум).
Составляем уравнение Якоби , где Q(t)=0, P(t)=14. Тогда 
. Откуда получаем 
.
Воспользовавшись краевыми условиями 
, находим решение уравнения Якоби 
. На интервале (–1, 1) кривая не обращается в нуль, следовательно, нет сопряженных точек, а следовательно, экстремаль доставляет функционалу слабый минимум.
Проверим условие Вейерштрасса. Выпишем функцию Вейерштрасса: 
.
Функция Вейерштрасса не устанавливает знак для любых 
, следовательно, нет сильного экстремума. Таким образом, экстремаль доставляет функционалу слабый, но не сильный минимум.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)