Выразим явно h через x в этой окрестности:
, tÎ Sd(t*).
Вне Sd(t*) положим h и x равными нулю. Подставим полученное выражение в производную, получим:
.
Теперь x не имеет ограничений, и воспользовавшись леммой Лагранжа, получим:
Откуда по правилу пропорции получаем:
Таким образом, имеем систему
(6.5)
при tÎ Sd(t*).
Так как 
на всем отрезке 
, аналогичные рассуждения верны и в некоторой окрестности любой точки tÎ (эти окрестности в совокупности образуют покрытие отрезка , из которого, в силу компактности, можно выбрать конечное подпокрытие).
Таким образом, для функционала
равенство 
имеет место на всем промежутке. Полученная система (6.5) является системой уравнений Эйлера для лагранжиана L(y,z). Теорема доказана.
6.5. Правило множителей Лагранжа в общем случае
Перед тем как рассмотреть задачу, напомним некоторые факты из функционального анализа.
F(x): X®Y – оператор, X, Y – линейные нормированные пространства.
Опр. 1. Пусть U – окрестность точки Î X. Говорят, что оператор F: X® Y дифференцируем по Фреше в точке 
, если существует такой линейный непрерывный оператор L: X®Y, что для всех hÎX, для которых +hÎU, справедливо равенство
F(+h) –F()=Lh+r(h)
с оценкой остатка
"e>0 $d>0: 
<dÞ
.
Оператор L называется производной по Фреше оператора F в точке и обозначается
. Это можно записать следующим образом:
при 
.
Опр. 2. Оператор F(x) строго дифференцируем по Фреше в точке , если существует такой линейный непрерывный оператор L(
), что "e>0 $ d(e): выполняется условие
.
Опр. 3. Пусть M – некоторое линейное подпространство в линейном нормированном пространстве X. Аннулятором подпространства M в пространстве X называется множество линейных непрерывных функционалов, обладающих следующим свойством: 
Замечание. 
{Æ}, так как нулевой оператор всегда принадлежит аннулятору.
Замечание. Если X,Y – линейные нормированные пространства, а Z=X´Y также линейное нормированное пространство, то норма Z – это сумма норм
.
Лемма об аннуляторе. Если M – замкнутое собственное (M¹X) подпространство в X, то его аннулятор
всегда содержит хотя бы один ненулевой элемент.
Лемма. Пусть X,Y,Z – линейные нормированные пространства. Если A(x): X®Y, B(x): X®Z, C(x)=(A(x),B(x)): X®Y´Z, ImA(Ker B) – замкнутое подпространство в Y, а ImB – замкнутое подпространство в Z, то ImC – замкнутое подпространство в Y´Z.
Опр. 4. Норма линейного функционала F: X®R вводится как 
.
Теперь вернемся к задаче Лагранжа. Пусть f(x): X® R, F(x): X®Y. Задача состоит в том, чтобы найти экстремум функционала f(x) при наличии ограничений F(x)=0.
Сформулируем необходимое условие экстремума данной задачи.
Пусть – решение поставленной задачи.
Теорема. Пусть X,Y – линейные нормированные Банаховы пространства, U() – открытое множество в X. Отображения f(x), F(x) строго дифференцируемы по Фреше в точке 
. f(): U() ® R , F(): U() ®Y. Пусть Im
– замкнутое подпространство в Y.
Тогда существуют 
и y*ÎY* (
–множители Лагранжа) одновременно не равные нулю, такие, что для функционала
имеет место равенство
, "hÎX,
т. е. экстремальявляется стационарной точкой лагранжиана.
Замечание. Рассмотрим отображение L(x): X® R. Найдем производную L(x).
Док-во теоремы. Рассмотрим следующее отображение 
: X ®R´Y=Z.
.
Очевидно, что строго дифференцируемо по Фреше в точке и 
– линейное непрерывное отображение.
Возможны два случая:
I. Im ¹Z.
II. Im =Z.
Рассмотрим каждый отдельно.
Случай I.
По условию, Im – замкнутое линейное подпространство в Y, – линейное непрерывное отображение, а следовательно, Ker={hÎX: [h]=0} линейное подпространство в X. Тогда 
[Ker] – линейное подпространство в R (в силу линейности и непрерывности производной ).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)