Методы оптимизации (стр. 13 ) | Авторская платформа Pandia.ru

Замечание. Если не выполнилось какое-либо из условий 2) и 3), то экстремума в задаче нет.

План решения задач на слабый экстремум.

Для исследования задачи на слабый экстремум нужно:

1. Выписать уравнение Эйлера .

2. Решив полученное дифференциальное уравнение, найти решение x=x(t,C1,C2).

3. Воспользовавшись краевыми условиями x(a)=xa, x(b)=xb, найти произвольные постоянные C1, C2.

4. Проверить выполнение усиленного условия Лежандра: .

5. Составить уравнение Якоби: .

6. Решить полученное дифференциальное уравнение с краевыми условиями.

7. Проверить, обращается ли полученное решение h(t) в ноль на интервале (a,b) (графически или аналитически). Тем самым выяснить, есть ли сопряженные точки на интервале (a,b).

Пример 1. Исследовать на экстремум

Решение. Выпишем уравнение Эйлера:

характеристическое уравнение для которого имеет вид:

Корни характеристического уравнения равны: . Тогда получаем общее решение уравнения Эйлера:

Подставляем краевые условия и находим произвольные постоянные С1=1, С2=1. Тогда экстремаль имеет вид:

Проверяем усиленное условие Лежандра:

(возможен максимум).

Выпишем уравнение Якоби , где Q(t)=2, P(t)= –2. Тогда .

Решаем полученное уравнение и, воспользовавшись краевыми условиями , находим решение уравнения Якоби .

На интервале кривая в ноль не обращается, следовательно, сопряженных точек нет. Все условия теоремы выполнились, тогда экстремаль доставляет функционалу слабый максимум.

Пример 2. Исследовать на экстремум:

Решение. Выпишем уравнение Эйлера:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

характеристическое уравнение для которого имеет вид:

Корни характеристического уравнения равны: . Тогда получаем общее решение уравнения Эйлера:

Подставляем краевые условия и находим произвольные постоянные С1= С2=0. Тогда экстремаль имеет вид

Проверяем усиленное условие Лежандра:

(возможен минимум).

Выпишем уравнение Якоби , где Q(t)= –2, P(t)=2. Тогда .

Решаем полученное уравнение и, воспользовавшись краевыми условиями , находим решение уравнения Якоби

На интервале кривая обращается в ноль в точке t =p, таким образом, есть сопряженная точка. Следовательно, не выполнилось одно из условий теоремы. Экстремума нет.

8.5. Поле функционала

Опр. 3. Полем функционала F(x) называется n-параметрическое семейство решений уравнения Эйлера, удовлетворяющее в некоторой области , xÎRn следующим условиям:

I) в области G все кривые подчинены уравнению (т. е. для кривых x(t) выполнена теорема существования и единственности);

II) выполнено условие самосопряженности:

, где .

Тогда y(t) называется наклоном поля.

Опр. 4. Если существует точка x0Î¶D, через которую проходят все кривые поля, то поле называется центральным.

Если такой точки не существует, то поле называется нецентральным (или собственным).

Пример 1. Внутри круга семейство кривых , где C – произвольная постоянная, образует собственное поле, так как эти кривые нигде не пересекаются, и через каждую точку (x,y) круга проходит только одна кривая этого семейства.

Пример 2. Семейство парабол внутри круга собственного поля не образуют, так как различные кривые семейства пересекаются внутри круга и не покрывают всю область.

Пример 3. Семейство кривых y=Cx образует центральное поле в области x>0.

Опр. 5. Экстремаль можно окружить полем, если существует поле функционала, в которое она входит в качестве одной из составляющих.

Пример 4. Рассмотрим функционал

Его экстремалями являются прямые . Семейство экстремалей x=C2 образует собственное поле, а семейство экстремалей x=C1t образует центральное поле. Например, экстремаль x=7t можно окружить центральным полем, поскольку при C1=7 данная экстремаль является составляющей поля.

Теорема (критерий поля). Для того, чтобы система решений дифференциального уравнения , (x,t)Î , xÎRn порождала поле функционала F(x), необходимо и достаточно выполнение следующих условий: