, "tÎ[a;b], x(a)=xa, x(b)=xb.
Опр.2. Функции, удовлетворяющие уравнению Эйлера, называются экстремалями. Экстремали, удовлетворяющие заданным краевым условиям, называются допустимыми экстремалями.
Для вывода уравнения Эйлера нам потребуется несколько утверждений, которые будут сформулированы и доказаны в данной главе.
5.1. Основные леммы вариационного исчисления
Лемма Лагранжа. Если A(t)ÎC[a;b] и 
, " h(t)ÎC [a;b]: h(a)=h(b)=0 , то A(t)º0 на отрезке [a;b].
Док-во. (от обратного).
Пусть A(t)¹0. Тогда $t*Î(a;b): A(t*)=C¹0. Пусть C>0 (без ограничения общности можно считать, что точка t* не лежит на концах отрезка [a;b], так как, по непрерывности, если значение функции отлично от нуля в одном из концов отрезка, то оно отлично от нуля и в некоторой односторонней окрестности этой точки). Тогда, по непрерывности, существует окрестность Sd( t*), в которой A(t)>
.
Рассмотрим функцию h*(t), которая обращается в нуль вне Sd(t*), а внутри этой окрестности строго положительна (например, функция типа «шапочки»). Тогда
.
Получили противоречие с условиями леммы. Лемма доказана.
Лемма Дюбуа–Рэймона. Если A(t)ÎC[a;b] и 
, " h(t)ÎC1[a;b]: h(a)=h(b)=0 , то A(t)ºconst на отрезке [a;b].
Док-во (от обратного).
Пусть A(t)¹const на [a;b]. Тогда существуют точки t1, t2 Î [a;b]: A(t1)¹ A(t2). Аналогично лемме Лагранжа, можно считать, что t1, t2 Î (a;b). Пусть, для определенности,
A(t1)< A(t2).
Тогда существует такая константа C, что
A(t1)<C< A(t2).
Рассмотрим на отрезке [a;b] функцию h*(t) такую, что
и 
>0 при tÎSd(t1),
<0 при tÎSd(t2),
=0 вне окрестностей Sd(t1) и
Sd(t2).
Тогда
Получили противоречие с условием леммы, стало быть, не существует таких t1, t2 Î [a;b], что A(t1)¹ A(t2), т. е. A(t)ºconst на отрезке [a;b]. Лемма доказана.
Замечание. Леммы Лагранжа и Дюбуа– Рэймона называются основными леммами вариационного исчисления.
Теорема существования 
.
Пусть 
– экстремаль. Тогда вдоль экстремали существует производная:
.
Док-во
Рассмотрим первое слагаемое
=
.
Первое слагаемое обращается в нуль, так как в задаче с закрепленными концами h(a)=h(b)=0.
Получаем
По необходимому условию экстремума на экстремали 
, 
. По лемме Дюбуа–Рэймона имеем:
Оба слагаемых в правой части последнего равенства дифференцируемы по t, следовательно, и левая часть равенства так же дифференцируема по t, т. е. существует производная , что и доказывает теорему.
Теорема существования второй производной экстремали.
Экстремаль x= дважды дифференцируема во всех точках t Î [a;b], в которых 
.
Док-во.
Существование производной означает, что существует предел:
=
, где
Сопоставляя начало и конец этой цепочки преобразований, заметим, что предел левой части и первые два слагаемых правой части существуют, откуда вытекает, что у третьего слагаемого в правой части существует предел во всех точках t Î [a;b], в которых . Таким образом, мы доказали существование 
. Теорема доказана.
5.2. Вывод уравнения Эйлера для классической задачи вариационного исчисления
По принципу Ферма .
Преобразуем выражение для производной
=
так как, по доказанному выше, производная существует.
Последнее слагаемое равно нулю в силу закрепленных концов, так как h(a)=h(b)=0.
Тогда .
По лемме Лагранжа получаем
.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Пусть – точка локального экстремума в задаче
F(x) =
x(a)=xa, x(b)=xb,
дважды непрерывно дифференцируема как функция трех переменных, тогда выполнено уравнение Эйлера
, "t Î [a;b].
Замечание. Запишем уравнение Эйлера в развернутом виде:
Замечание. Данная теорема дает лишь необходимое, но не достаточное условие слабого локального экстремума.
Итак, для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала в задаче с закрепленными концами, необходимо:
Выписать уравнение Эйлера; Решить полученное дифференциальное уравнение второго порядка; Определить обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, из краевых условий x(a)=xa, x(b)=xb.Замечание. Экстремум функционала может реализоваться только на допустимых экстремалях. Однако для того чтобы установить, реализуется ли экстремум и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума, изложенными в пункте 8.4.
Пример 1. Найти экстремали функционала
F(x) =
x(1)=0, x(2)= –1.
Решение. Здесь 
=
. Уравнение Эйлера имеет вид 
Проинтегрировав два раза, получим общее решение уравнения Эйлера:
Граничные условия дают систему линейных уравнений для определения С1 и С2:
Отсюда 
. Следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой
,
в классе x(t)ÎC1([1;2]).
Пример 2. Найти экстремали функционала
F(x) = ,
удовлетворяющие граничным условиям x(0)=1, x(2p)=1.
Решение. Уравнение Эйлера имеет вид 
Его общим решением является
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)