Лемма. Два линейных функционала L1(x) и L2(x), заданные на линейном нормированном пространстве Х, обращаются в нуль одновременно в том и только в том случае, если $lÎR: L2(x)=lL1(x).
Док-во. Если оба функционала тождественно равны нулю, то они пропорциональны при любом l.
Рассмотрим случай, когда L1(x)¹0, тогда существует x1ÎX: L1(x1)¹0.
Тогда "xÎX уравнение L1(x–tx1)=0 имеет решение (относительно tÎR) 
. Тогда по условиям леммы
L2(x–tx1)=0 и L2(x)=tL2(x1).
Подставим в данное равенство полученное t и получим:
, где 
.
Соотношение L2(x)=lL1(x) выполнено "xÎX, а l, таким образом, не зависит от выбора x1ÎX. Лемма доказана.
Итак, вернемся к решению изопериметрической задачи. При сделанных в теореме предположениях имеем
"h: .
Поскольку F’(x) и G’(x) – линейные функционалы, воспользуемся леммой
$lÎR: 
или
.
Введем функционал
и получим, что искомая экстремаль 
при некоторых l является стационарной точкой для L(x), т. е.
.
Таким образом, если из этого уравнения можно найти 
, то удовлетворит уравнению G()=C.
Это правило является аналогом правила множителей Лагранжа из теории условного экстремума функций нескольких переменных и позволяет находить 
и l.
6.3. Решение изопериметрической задачи
Рассмотрим задачу в пространстве C1[a;b].
, xÎRn
при условиях
Здесь fi : R3®R, – функции 3-х переменных, C1,…,Cm - заданные фиксированные числа.
План решения изопериметрической задачи.
1. Составить лагранжиан:
,
где 
– вектор множителей Лагранжа.
2. Выписать необходимое условие экстремума – уравнение Эйлера для лагранжиана L(x):
.
3. Найти допустимые экстремали, т. е. допустимые решения уравнения Эйлера для лагранжиана L(x) на векторе множителей Лагранжа , не равном нулю.
При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи l0=0 и l0¹0. Во втором случае можно положить l0 равным единице или любой другой, отличной от нуля константе.
Пример. Найти экстремаль в следующей задаче:
Решение. Составляем лагранжиан
.
Выписываем уравнение Эйлера для лагранжиана
Если l0=0, то l1=0, то все множители Лагранжа равны нулю, что противоречит правилу множителей Лагранжа.
Рассмотрим l0 ¹ 0. Пусть l0=0,5, тогда
Подставляем краевые условия и получаем
Подставляем полученное решение в изопериметрическое условие
.
Отсюда находим l1=6, С1=–2.
Тогда допустимая экстремаль имеет вид 
6.4. Задача Лагранжа
Пусть задан функционал от функции нескольких переменных
Найти экстремум функционала
(6.3)
с краевыми условиями
–заданные n-мерные векторы при наличии связей
gk(t,x1,…,xn)=0, k<n. (6.4)
Для нахождения экстремума в данной задаче используется следующая теорема.
Теорема. Пусть функции x1(t),…,xn(t) реализуют экстремум функционала (6.3) при наличии связей (6.4), а функции f, gk дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных.
Тогда существует ненулевой вектор 
такой, что x1,…,xn – стационарные кривые лагранжиана:
.
Рассмотрим задачу Лагранжа для функции двух переменных.
Найти экстремум функционала
с краевыми условиями
при наличии связи
g(t, y(t),z(t))=0, y, zÎ C1[a;b].
Теорема. Пусть 
– решение задачи и функции 
– дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных в точке 
. Функционал F(y,z) дифференцируем по Фреше в точке , т. е. существует 
Пусть также 
, т. е. 
и 
одновременно в ноль не обращаются, т. е. на поверхности g(t,y(t),z(t))=0 нет особых точек.
Тогда существует функция 
такая, что – стационарная кривая лагранжиана
, где x(t)=(y(t),z(t)).
Док-во. Выпишем приращение функционала и воспользуемся формулой Тейлора:
Заметим, что
.
Слагаемое 
равно нулю в силу закрепленных концов траектории.
Аналогично 
.
Таким образом, по принципу Ферма 
.
Однако допустимыми являются не всякие функции 
и 
, а только удовлетворяющие ограничению g(t,y+x,z+h)=0, т. е. и связаны между собой.
Выявим эту связь:
g(t,y+x,z+h)=0Þ
.
Пусть t*Î[a,b] такая точка, что 
.
Тогда, учитывая непрерывность всех производных и функций, мы можем сказать, что 
и в некоторой окрестности Sd(t*) точки t*.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
Основные порталы (построено редакторами)