Определение реакций опор плоской составной конструкции (стр. 15 )

Таким образом мы нашли все кинематические характеристики груза 1, блока 2 и колеса 3.

Для проверки правильности расчетов решим задачу еще несколькими способами:

1. Теоремой об изменении кинетической энергии;

2. Принципом Даламбера – Лагранжа;

3. Уравнением Лагранжа второго рода.

6.2 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к

  исследованию динамики механической системы

Для расчета ускорения груза 1 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Теорема.

Изменение кинетической энергии при переходе механической системы из одного положения в другое равно сумме полных работ внешних и внутренних сил.

В нашей задачи отсутствуют внутренние силы, поэтому работу внутренних сил приравняем к нулю. Начальное значение кинетической энергии примем равным нулю, так как система движется из состояния покоя. Тогда получим:

                                                                       (6.27)

Учтем, что кинетическая энергия при вращении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат ее угловой скорости.

                                                                       (6.28)

Также учтем, что при поступательном движении кинетическая энергия – это половина произведения массы этой системы на квадрат ее скорости ее центра.

                                                                       (6.29)

Элементарной работой силы называется скалярное произведение силы на элементарное перемещение.

                                                       (6.30)

Рисунок 22 – Общая схема движения

Найдем кинетическую энергию для нашей системы (рисунок 22).

                                       (6.31)

Учтя формулу 6.31, , , , получим:

                       (6.32)

Найдем сумму работ всех внешних сил.

                               (6.33)

Здесь работа силы , равны нулю, так как перемещение в соответствии с уравнением 6.30 равно нулю. Тогда уравнение 6.33 примет вид:

                                                       (6.34)

Найдем работу и . Для этого воспользуемся формулой связи:

                                                                       (6.35)

                                               (6.36)

Подставив их в уравнение 6.33 найдем работу:

                                       (6.37)

Подставив известные величины найдем работу:

                                               (6.38)

Приравняв предыдущее уравнение с уравнением 6.32, получим:

                                                       (6.39)

Сократим массу в предыдущем уравнении найдем скорость :

                                                               (6.40)

Данная зависимость показывает, как изменяется скорость с изменением координаты. Воспользовавшись уравнением 6.19, подставив в него время, допустим t=1 с, мы найдем как измениться скорость спустя такое время. Сделаем это:

подставив это число в уравнение 5.40 найдем скорость спустя время t=1 с.

Таким образом скорость спустя время равное t=1 с будет равна . В уравнении 6.19 это значение при подстановки t=1 с будут равно . Имеется небольшая погрешность вычислений.

6.3 Применение принципа Даламбера – Лагранжа к исследованию

  динамики механической системы

Если механическая система, на которую наложены голономные стационарные связи движется с ускорением, то добавляя к действующим на нее активным силам и их моментам фиктивные силы и моменты сил инерции получим формально уравновешенную систему сил, для которой можно применить принцип возможных перемещений (ПВП).

                                                       (6.41)

ПВП – это принцип, который говорит о том, что для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные голономные идеальные связи необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил была равна нулю.

                                                                       (6.42)

Фиктивные силы – это силы, которые уравновешивают активные силы. Голономные или интегрируемые связи – это связи, для которых существует множитель, позволяющий интегрировать уравнение кинематической связи. Виртуальная работа силы, приложенной к какой – либо точки тела, движущегося поступательно называется скалярное произведение вектора силы на вектор возможного перемещения точки к которой приложена сила.

                                                               (6.43)

где .