Определение реакций опор плоской составной конструкции (стр. 1 )

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ПЛОСКОЙ СОСТАВНОЙ

  КОНСТРУКЦИИ

Постановка задачи:

Плоская составная конструкция (рисунок 1), состоящая из двух балок АВ и КЕ, а также пластины ВК, соединенных внутренними шарнирами В и К.

Конструкция нагружена сосредоточенными силами направленными соответственно под углом парами сил, моменты которых и распределенной нагрузкой интенсивность которой . Геометрические размеры конструкции указаны на чертеже, где а=1 м.

Определить неизвестные реакции опор А, D, Е и внутренние силы взаимодействия между телами, возникающие в опорах В, К под действием заданной нагрузки.

Рисунок 1 – Плоская составная конструкция

Расчет составной конструкции заключается в определении внешних и внутренних связей.

На составную конструкцию наложены следующие связи – шарнирно-неподвижные опоры В и К (цилиндрический шарнир), шарнирно-подвижная опора D, балка-консоль А, невесомый опорный стержень Е.

На основании принципа освобождаемости от связей – «всякое несвободное тело можно, мысленно отбросив связи, рассматривать как свободное, если действия связей заменить реакциями связей», заменяем внешние связи их реакциями.

Шарнирно-неподвижная опора исключает всякое перемещение тела в этой опоре, но допускает его поворот в любом направлении в плоскости. Реакция такой опоры R проходит через центр опоры, ее величина и направление неизвестно, поэтому, при решении практических задач ее принято обозначать двумя декартовыми проекциями X и Y, ориентированных параллельно соответствующим осям координат, где нижний индекс совпадает с обозначением опоры (ХВ, YВ, ХК, YК). В процессе решения задачи эти составляющие всегда направляем в сторону положительного направления осей координат. По составляющим находим модуль и направление полной реакции.

Шарнирно-подвижная опора D допускают поворот тела в любом направлении в плоскости. Так как основание опоры подвижное, то тело может свободно перемещаться в плоскости, параллельной этому основанию, но не может перемещаться перпендикулярно к основанию т. к. при этом нарушается связь. Поэтому реакция таких опор направлена перпендикулярно опорной поверхности. Таким образом, направление реакций будет известно, а их величина неизвестна.

Балка-консоль А представляет собой внедрение данного тела в другое, при котором, нет взаимных перемещений этих тел.

При действии на балку плоской системы сил в заделке возникает пара сил с моментом МА – реактивный момент, препятствующий повороту балки, и произвольно направленная сила реакции RА, препятствующая поступательным перемещениям, которую заменяем ее составляющими XА и YА.

Невесомый стержень Е называется опорным, так как он испытывает нагрузку только на своих концах.

Если в пределах стержня от шарнира до шарнира никаких сил к нему не приложено (опорный стержень нельзя нагружать силами в какой-нибудь его средней части и вес стержня не учитывается), то реакция стержня направлена вдоль стержня.

Механическая система находится в равновесии под действием заданных сил и реакций связей, которые необходимо определить.

Общее количество неизвестных внешних реакций в задаче – 4 (ХА, YА, МА, XЕ,).

Для плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия, поэтому, для определения четырех неизвестных реакций связей этих уравнений недостаточно. Задача решается путем расчленения системы на отдельные тела и составления уравнений равновесия. Действие отброшенных частей заменяются внутренними силами, которые по отношению к рассматриваемому телу играют роль внешних сил, а действие связей заменяется соответствующими реакциями связей.

Расчленяем конструкцию на три отдельные части и составляем уравнения равновесия для каждой части. При этом в месте сочленения тел возникают две реакции внутренних связей в цилиндрическом шарнире В (или К), величина и направление которых неизвестны. На основании аксиомы равенства действия и противодействия они будут для каждой части попарно равны по модулю и противоположны по направлению.

Начинаем расчет с пластины ВК.

1.1 Определение реакций опор плиты ВК

Составляем расчетную схему (рисунок 2).

Рисунок 2 – Расчетная схема плиты ВК составной конструкции

Найдем координаты центра тяжести () плоской фигуры ВК методом отрицательных площадей, при котором отверстия рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Разбиваем плиту ВК на пять простых геометрических фигур:

1 – прямоугольник BFMK;

2 – треугольник CFD;

3 – круг U;

4, 5 – квадраты LPZG, IJBN соответственно.

Центр тяжести плоской фигуры определяется по формуле:

;                                (1.1)

;                                (1.2)

где х, y – координаты центров тяжести частей сечения;

  S – площадь части сечения;

х1 = 2,5а=2,5 м;                                                                        (1.3)

х2 = 0,5a = 0,5 м;                                                                        (1.4)

x3 = 1а = 1 м;                                                                        (1.5)

x4 = 2,5а=2,5 м;                                                                        (1.6)

x5 = 4а = 4 м;                                                                        (1.7)

y1 = 1а = 1 м;                                                                        (1.8)

y2 = 1,5а = 1,5 м;                                                                        (1.9)

y3 = 1а = 1 м;                                                                        (1.10)

y4 = 1,5а = 1,5 м;                                                                        (1.11)

y5 = 1а = 1 м;                                                                        (1.12)

S1 = SBMFK = 5a*2a = 5*2 = 10 м2;                                                (1.13)

S2 = SFCD = 1а*1а/2 = 1/2 м2;                                                        (1.14)