Определение реакций опор плоской составной конструкции (стр. 16 )

Рисунок 23 – Чертеж с фиктивными силами и возможными перемещениями

Для нашего случая уравнение 6.42 будет иметь вид:

                               (6.44)

В предыдущем уравнении:

Подставим предыдущие уравнения в уравнение 6.44 получим:

                       (6.45)

Сократив m и возможное перемещение получим:

                                       (6.46)

Мы нашли ускорение груза 1. Имеется небольшая погрешность вычислений, в пределах допустимой погрешности.

6.4 Применения уравнения Лагранжа второго рода к исследованию

  динамики механической системы

Формулировка уравнения Лагранжа второго рода.

Разность полной производной по времени от частной производной от кинетической энергии механической системы по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии механической системы по обобщенной координате равно обобщенной силе.

                                                               (6.47)

Обобщенная скорость – это производная по времени от обобщенной координаты . Обобщенные координаты – любые независимые параметры, однозначно определяющие положение механической системы в пространстве. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы.

Обобщенная сила – первая вариация от суммы элементарных работ сил системы на ее возможном перемещении по бесконечно малому приращению обобщенной координаты.

                                                                       (6.48)

Найдем работу всех активных сил для нашего случая:

                               (6.49)

Здесь и будут равны нулю, так как по формуле 6.43 приращение координаты равно нулю. Тогда уравнение 6.49 примет вид:

                                                       (6.50)

Найдем и . Как и в уравнении 6.44 они будут равны:

Тогда уравнение 6.50 с учетом знаков примет вид:

Найдем Q в соответствии с уравнением 6.48:

                                               (6.51)

Найдем производную в соответствии с уравнением 6.47, учтя, что (уравнение 6.32):

                       (6.52)

Так как наша система неподвижна, то в уравнении 6.47 . Тогда приравняв уравнение 6.52 с уравнением 6.51 получим:

                                               (6.53)

Мы нашли что ускорение груза 1 равно 3,364 м/с2, что соответствует трем предыдущим расчетам с небольшой погрешностью.

6.5 Определение скорости и ускорения центра масс механической

  системы

Определим скорость и ускорение центра масс системы. Для этого воспользуемся следующими формулами:

Определим ускорение центра масс нашей системы, считая что ускорение груза 1 и колеса 3 одинаковы:

                                               (6.54)

                                               (6.55)

Выразим из предыдущих уравнений и :

Из предыдущих уравнений и, учтя уравнение 6.18, найдем:

                       (6.56)

                                               (6.57)

Для определения скорости центра масс помножим уравнение 6.56 на время t:

                                                                               (6.58)

Таким образом скорость центра масс будет линейно зависеть от времени.

6.6 Определение количества движения механической системы

Количество движения – это произведение массы тела на вектор скорости ее центра масс.

                                                                               (6.59)

Для нашего случая уравнение 6.59 примет вид:

Таким образом количество движения будет линейно зависеть от времени.

6.7 Определение главного вектора внешних сил механической

  системы

Определим модуль главного вектора заданных систем сил по проекциям на координатные оси.

                                                                               (6.60)

                                       (6.61)

6.8 Вывод по разделу

Мы определили ускорение груза 1 четырьмя различными методами. Использование всех методов дало одинаковые результаты, с небольшим отклонением в пределах допустимой погрешности.