Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек (стр. 10 )

.

       Функционал полной энергии с учетом деформаций изгиба и растяжения получит вид

или

.

Применим метод Ритца, приняв в качестве базисных функций кривые, изображенные на рис. 3.7, а (внизу). Перемещения приближенно зададим в виде

;  .

Подставив эти перемещения в выражения для энергии и выполнив

интегрирование, получим такую функцию аргументов и :

.

Уравнения  и оказываются нелинейными и имеют следующий вид:

;

.

Выразив через из второго уравнения и подставив его в первое уравнение, получим искомую зависимость

,

где – безразмерная нагрузка;

– безразмерный (относительный) прогиб в середине пролета:.

       На рис. 3.7, б сплошной линией показана кривая для балки прямоугольного сечения при , для которой . Так же пунктиром изображен результат линейного решения, когда учитывается только деформация изгиба. Как видим, при прогибе, имеющем порядок высоты сечения балки (~, т. е. ~0,1) и более, не учет нелинейной работы системы приводит к существенным погрешностям. Этот вывод в еще большей мере характерен также для гибких пластин и оболочек.

       В заключении этого параграфа отметим, что рассмотренные выше основы метода Ритца имеют в основном принципиальное значение.  В то же время технически он реализуется в большинстве случаев в одной из форм так называемого метода конечных элементов (МКЭ), о чем более подробно сказано далее.  Преимущества последнего состоят в том, что окончательные разрешающие уравнения Ритца (3.28) удается составлять, минуя операцию явного получения выражения полной энергии системы и его дифференцирования.

  3.6. Принцип Кастильяно

       В отличие от принципа Лагранжа, в котором состояние деформированного тела характеризуется функциями перемещений, в принципе Кастильяно состояние тела характеризуется функциями напряжений , которые заведомо удовлетворяют условиям равновесия тела при данной внешней нагрузке на поверхности и заданным перемещениям на поверхности тела (рис. 3.8, а).

Указанные напряжения называют статически возможными или равновесными системами напряжений. Но в каждой задаче теории упругости таких систем напряжений существует бесконечно много, поскольку эта задача статически неопределима.

Действительно, в три уравнения равновесия (2.3) входят шесть неизвестных функций , поэтому число функций , удовлетворяющих этим уравнениям и условиям на поверхности, бесконечно велико.

  Принцип Кастильяно из всех систем статически возможных напряжений выделяет такие, которые обеспечивают не только равновесие, но и совместимость деформаций тела и, таким образом, являются искомым единственным решением задачи теории упругости.

Рис. 3.8

       Для его формулировки рассмотрим два состояния тела: первое – с истинными напряжениями и второе – с напряжениями . Те и другие напряжения статически возможные и, следовательно, уравновешивают внешнюю нагрузку . Представив себе разность этих состояний, придем к выводу о том, что напряжениям отвечает отсутствие нагрузки на поверхности , т. е. система напряжений самоуравновешенной.

       На рис. 3.8, б показано рассматриваемое тело, испытывающее самоуравновешенные напряжения , являющиеся вариациями истинных напряжений . На поверхности как реактивные усилия в этом состоянии возникают поверхностные нагрузки . Поскольку эта система напряжений и сил равновесна, ее работа на возможных перемещениях равна нулю.

       В деформированном теле в качестве возможных могут быть приняты любые малые перемещения и пропорциональные им деформации, которые не нарушают его сплошности внутри тела и непрерывной связи с опорными закреплениями. Если перемещения и деформации, отвечающие истинным напряжениям, удовлетворяют этим условиям, то они могут быть приняты в качестве возможных для напряжений и нагрузок . Запишем как условие совместности деформаций равенство нулю работы напряжений и нагрузок на истинных деформациях и перемещениях :

    (3.32)

Под знаком тройного интеграла здесь стоит вариация плотности дополнительной энергии деформации . На рис. 3.9, а это показано для случая одноосного напряженного состояния и нелинейно-упругого материала. Произведение ,где , выражается площадью диаграммы деформирования материала, заштрихованной на рис. 3.9, а, б. В общем случае

.

       Второе слагаемое (3.32) равно вариации потенциала сил на поверхности (с обратным знаком). Этот потенциал обозначим . Умножая (3.32) на – 1, левую часть этого равенства запишем в виде

  ,  (3.33)

где

;  ;  .