Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек (стр. 9 )

  ;  (3.24)

  , .  (3.25)

       Таким образом, вариационное уравнение , в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала . При этом если последний будет выражен только через три функции перемещений , то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.30), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения  частных производных функций , , потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям – переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем.

       Вариационная формулировка задачи теории упругости используется главным образом в двух случаях. В первом на основе уравнения строятся численные методы решения этой задачи (метод Ритца, метод конечных элементов и т. п.). Все эти методы относят к классу прямых методов решения задач теории упругости, не требующих в явной форме использования дифференциальных уравнений.

       Второй характерный случай применения вариационного подхода – это получение дифференциальных уравнений и граничных условий рассматриваемой задачи, как уравнений Эйлера соответствующего функционала. Такой путь оказывается оправданным для тел сложной формы и структуры (например, многослойные оболочки и др.), а также при переходе от одной системы координат к другой (от декартовой системы к полярной, криволинейной и другим системам).

  3.5. Метод Ритца

  Условие стационарности функционала формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Рицем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной,  когда функционал , заменяется функцией , зависящей от конечного числа аргументов . После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции  дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числом степеней свободы.

  В общем случае трехмерного тела для перемещений , , зададимся выражением в виде суммы:

  ,  (3.26)

где – неизвестные числа (обобщенные перемещения), подлежащие определению: – базисные функции, которыми мы задаемся так, чтобы они удовлетворяли условиям закрепления тела.

       Подставляя (3.26) в функционал (3.11) для линейно деформируемых систем, после вычисления определенных интегралов от функций и их производных получим его в виде квадратичной формы

  .  (3.27)

При этом можно убедиться, расписав упомянутые определенные интегралы, что всегда  . Из условия ввиду произвольности вариаций , получаем уравнений

      (3.28)

которые в случае линейно деформируемой системы с учетом (3.27) образуют систему алгебраических линейных уравнений относительно обобщенных перемещений :

    (3.29)

Выделим из (3.29) матрицу и вектор:

  R; .  (3.30)

Матрица R называется матрицей жесткости, соответствующей вектору обобщенных перемещений . Она симметрична относительно главной диагонали, так как .  Произведение

R дает вектор обобщенных упругих сил. Вектор – это вектор обобщенных внешних сил. Поэтому равенства (3.28) и (3.29), которые могут быть записаны кратко в виде

  ,  (3.31)

приобретают простой механический смысл, а именно: если деформированное тело (или система тел) находится в равновесии, то суммарная обобщенная сила, отвечающая  каждому из возможных перемещений , равна нулю. При этом суммарная обобщенная сила состоит из упругой силы и внешней обобщенной силы .

Рис. 3.7

       Если тело является нелинейно деформируемым, то функционал от будет зависеть более сложно, чем квадратичная форма (3.27), и система уравнений (3.28) будет нелинейной относительно . Проиллюстрируем сказанное характерным примером.

       На рис. 3.7, а показана балка, имеющая на концах шарнирно неподвижные опоры. При ее искривлении длина оси увеличивается и балка работает как на изгиб, так и на растяжение, а в горизонтальных связях возникают растягивающие силы . Получим зависимость между нагрузкой и прогибами такой системы.

       На осевые продольные деформации будет влиять не только продольное перемещение , но и поперечное перемещение , причем эта зависимость нелинейная и приближенно имеет вид уравнений:

  (3.32)

По аналогии с этими уравнениями имеем зависимость для осевой деформации , а также для продольной силы . Как видим, данная система относится к разряду геометрически нелинейных систем. Плотность энергии деформации растяжения балки (на единицу длины) будет