Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек (стр. 4 )

  следовательно,   и    (2.11)

  Для определения уху рассмотрим проекцию параллелепипеда dx, dy, dz на плоскость х — у. На рис. 2.5 показано положение этого параллелепипеда до деформации CAB и С1А1В1 после деформации. Угол сдвига уху — это малое изменение прямого угла CAB. При его определении ввиду малости перемещений и деформаций не будем учитывать влияние  перемещений w и изменение длины ребер параллелепипеда, т. е. считать, что параллелепипед сначала получил поступательное перемещение точки А (хА, уА) в точку  A1 (xА + u, уА + v) как жесткое целое, а затем произошел сдвиг за счет поворота его граней на малые углы б1 и б2. Следовательно, Так как частные дифференциалы  и ,  то

    (2.12)

 

  Рис. 2.5

  Таким образом, имеем угол сдвига в плоскости x – y

    (2.13) 

Для получения формул, выражающих еу, еz и yyz, yzx, надо в выражениях (2.11), (2.13) для ех и уху последовательно заменить обозначения координат и компонент перемещений. Эта операция обычно называется круговой подстановкой обозначений. В результате получим линейные и угловые деформации в виде

 

      (2.14)

  Геометрические  уравнения (2.14) носят название уравнений Коши. Для записи уравнений Коши в сокращенном виде введем векторы деформаций и перемещений    и  , аналогичные векторам  (2.5)

 

 

  Тогда уравнения (2.14) можно записать в виде

  ,

где  Аф -  транспонированная матрица  А (2.7), фигурирующая в уравнениях равновесия (2.6).

  Уравнения деформаций (2.14) получились в виде линейных соотношений между перемещениями  и деформациями вследствие использования допущения о малости (или более строго о бесконечной малости) деформаций и перемещений.

  . Уравнения совместности деформаций

  Если даны три компоненты непрерывного поля перемещений  , то по ним легко определяются соответствующие шесть компонент поля деформаций по формулам Коши (2.14). Сложнее обстоит дело с обратной постановкой задачи. Если заданы шесть компонент  деформаций    то заранее нельзя утверждать, что им соответствует непрерывное поле перемещений. Деформации, которым отвечает непрерывное поле перемещений, называются совместными деформациями. В противном случае деформации называют несовместными.

  Для того чтобы деформации были совместными, они должны быть взаимосвязаны  некоторыми  соотношениями,  которые  называются  уравнениями совместности деформаций. Необходимость их существования можно проиллюстрировать следующим простым рассуждением.

   

  Рис. 2.6

На рис. 2.6, а показано тело до деформации, разбитое на части сеткой ортогональных прямых. Зададим в этом теле поле ℰх, ℰv и ℰ2, в результате чего прямые получат некоторые удлинения. Так, вместо dsx будем иметь (1 + ℰх) dsx. Тело дефор­мируется, как это показано на рис. 2.6, б. При этом возникают и углы сдвига как изменения прямых углов, зависящие от ℰх,ℰy, ℰz. Очевид­но, наоборот, задавая уху, yyz, yzx, в непрерывно деформируемом теле будем иметь некоторые зависящие от них линейные деформации ℰх, ℰy, ℰz.  В случае произвольного и независимого задания удлинений и углов сдвига деформированные элементы тела не удастся сложить в сплошное тело. Поэтому упомянутые уравнения также называются уравнениями сплошности или неразрывно­сти.

  Рассмотрим случай малых деформаций и перемещений, когда справедливы линейные уравнения. Для вывода уравнений совмест­ности исключим из уравнений Коши (2.14) перемещения и,  v, w. Уравнения совместности имеют вид:

 

 

 

 

 

    (2.15) 

  2.4.  Физические уравнения теории упругости

  Ещё  рассматриваются физические уравнения теории упругости, которые являются соотношениями обобщённого закона Гука:

    (2.16)

где Е и G – модули упругости при растяжении и сдвиге, а м – коэффициент Пуассона. Для изотропного материала они связаны зависимостью

  G = E/2/(1+ µ)  (2.17)

так, что независимых постоянных упругости для указанного материала только две.

  В сокращенной форме уравнения (2.16) запишем в виде

    (2.18)

где матрица  упругой податливости С с учетом (2.16) получит вид:

    (2.19)

  Уравнения (2.16) дают возможность вычислить деформации, если известны напряжения. Назовем их законом Гука в прямой форме.  В ходе решения задач теории упругости возникает необходимость в обратных соотношениях, когда напряжения выражены через деформации. Для этого надо разрешить уравнения (2.16) относительно напряжений.

  Запишем первую строку (2.16) в виде

    (2.20)

  Из курса сопротивления материалов известно следующее выражение для относительной объемной деформации элемента:

    (2.21)

Заменяя в (2.20) сумму  на величину, найденную из (2.21), и разрешая (2.20), получим закон Гука в обратной форме, т. е. напряжения, выраженные через деформации.

 

    (2.22)