Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек (стр. 7 )

       В случае линейного напряженного состояния плотность энергии деформации выражается площадью диаграммы деформирования материала (рис. 3.2, в – нелинейно-упругий материал, рис. 3.2, – линейно-упругий). В последнем случае . Обобщая эту формулу на случай объемного напряженного состояния, получим

  ,  (3.5)

или в сокращенной форме, используя обозначения векторов и [(2.5), (2.15)], запишем (3.5) в виде

  .  (3.6)

Во всем объеме энергию деформации найдем путем интегрирования по объему:

    (3.7)

       Подчеркнем, что при вычислении как работы следует вычислять работу именно внутренних напряжений в отличие от напряжений , приложенных к граням кубика материала и являющихся для него внешним воздействием (рис. 3.3). На рисунке показано,

 

Рис. 3.3

 

  Рис. 3.4 

что материал элемента условно удален и заменен внутренними («стягивающими») напряжениями . При уменьшении деформации от до нуля напряжение совершает положительную работу, равную . Вообще, упругие силы, стремясь восстановить первоначальную форму деформированного тела, будут давать положительную энергию деформации (3.7) и создавать положительный вклад в общий баланс энергии .

       Теперь составим выражение для потенциала внешних сил . Будем считать, что значение этих сил не зависит от перемещения точки приложения силы (весовая нагрузка, давление жидкости или газа и т. п.). На рис. 3.4 показаны элементарные поверхностные силы , , и , действующие на площадку в деформированном состоянии. При переводе тела в недеформированное состояние точка перейдет в положение и указанные силы совершат отрицательную работу на перемещениях, соответственно , и . Следовательно, . Аналогично, для объемной нагрузки получим . Интегрируя по поверхности тела и объему , найдем потенциал внешних сил в  виде

  (3.8)

или в сокращенной векторной форме

    (3.9)

Легко видеть, что величина энергии , так же как и , вполне определяется заданием функций перемещений , и . Действительно, используя закон Гука (2.24) и уравнения Коши (2.16), выражению (3.6) для можно придать вид

  .  (3.10)

Следовательно, полная энергия является функционалом, зависящим от выбора трех функций-аргументов

, т. е. ,

или в развернутой форме

,  (3.11)

где – матрица  закона Гука (2.25)

  – матрица оператора дифференцирования (2.6).

Рис. 3.5

       Приведем пример составления функционала (3.11). составим выражение полной энергии для балки (рис. 3.5), считая, как это делается обычно в сопротивлении материалов, справедливой гипотезу плоских сечений и пренебрегая влиянием на ее деформации напряжений , и касательных напряжений . Таким образом, при определении энергии упругой деформации будем учитывать только напряжения . В этом случае . Перемещение точки сечения за счет его поворота на угол будет ; следовательно, , а . Здесь и далее штрихом отмечаем дифференцирование по . Интегрируя по объему балки, найдем

  .  (3.12)

В выражении для интеграл , вычисляемый по площади сечения А, заменен на момент инерции этого сечения .

  Потенциал нагрузки найдем в виде . Окончательно функционал полной энергии (3.12) получит вид

  .  (3.13)

  3.3. Вариационный принцип Лагранжа

       Применим к деформированному телу принцип возможных перемещений Лагранжа. Он выражает условие равновесия системы внутренних и внешних сил. Согласно этому принципу, если – истинные перемещения точек тела, при которых имеет место равновесие упомянутых систем сил, то работа этих сил на произвольном бесконечном малом изменении перемещений , допускаемом связями тела, должна быть равна нулю. Бесконечно малые функции , , называются вариациями функций , , . Функция прогибов и ее вариация показаны на рис. 3.5 внизу.