Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек (стр. 12 )

Рис. 3.11

На единицу длины грани эти нагрузки дают равнодействующие  силы 

    (в)

       Пусть . Тогда напряжения , и условия и (в) будут сжимающими (рис. 3.11, б). Во втором состоянии прикладываем эти нагрузки с обратным знаком, т. е. растягивающие и (рис. 3.11, а). От такого равномерного центрального растяжения возникают напряжения

  .  (г)

       По формуле (3.40) получим суммарные напряжения

  .  (3.41)

Первое слагаемое в скобках имеет смысл средней температуры по толщине пластины: формулу (3.41) можно переписать в виде

  .  (3.42)

На рис. 3.10, б  показаны эпюры , и при . Легко видеть, что в каждом сечении напряжения и самоуравновешены, площадь этих эпюр на высоте равна нулю. Подобные рассуждения можно применить и в случае, если температура не симметрична относительно середины толщины пластины. Тогда в качестве краевых воздействий появятся кроме усилий , и изгибающие моменты , (рис. 3.11, б)

; 

и вместо формулы (3.42 )получим

  .  (3.43)

  Заметим, что полученные формулы для , справедливы только для точек, достаточно удаленных от боковых кромок пластины, на которых фактически напряжения равны нулю. В соответствии с принципом Сен-Венана вдоль контура пластины существует зона, где распределение напряжений отличается от (3.41) и (3.43), а вне этой зоны эти формулы справедливы.

    Глава 4.  Метод конечных элементов (МКЭ)

    4.1. Сущность метода конечных элементов

  Метод конечных элементов (МКЭ) является методом приближенного прямого отыскания неизвестных функций на основе какого-либо вариационного принципа. Зародившись в строительной механике, он получил широкое распространение в решении различных проблем математической физики – в задачах теплопроводности, гидро  и аэродинамики, фильтрации и других задачах физики. Здесь мы ограничимся знакомством с этим методом с позиции, наиболее близких к строительной механике. Он имеет достаточно широкую математическую трактовку.

  За три десятилетия существования и развития этого метода наиболее развитой оказалась та его разновидность, когда решение ведется в перемещениях. Она связана с вариационным принципом Лагранжа и может быть истолкована как усовершенствованная модификация метода Ритца.

  Рассмотрим эти вопросы на примере решения плоской задачи для пластины, нагруженной в ее плоскости (рис. 4.1, а).

 

  Рис. 4.1

  Согласно методу Ритца, перемещение u и v задаются в виде сумм  (4.1)

где – обобщенные перемещения (числа), подлежащие определению; –базисные функции, которыми задаемся в пределах площади пластины.

  В § 3.5 показано, что находятся из уравнений,

    (4.2)

выражающих условия равновесия в виде равенства нулю суммарной обобщенной силы, отвечающей каждому обобщенному перемещению .

 

  Рис. 4.2

  В линейно-деформируемой системе вектор обобщенных сил упругости выражается через обобщенные перемещения с помощью матрицы R:

  ,  (4.3)

где

    (4.4)

называется матрицей жесткости, отвечающей вектору обобщенных перемещений . В развернутой форме уравнения (4.2) имеют вид   (4.5)

Или в матричной записи

  .  (4.6)

Из решения этих уравнений и определятся искомые обобщенные перемещения .

  Остановимся подробнее на понятиях матрицы жесткости R и обобщенной упругой силы . На рисунке 4.2, a элементы матрицы проиллюстрированы на примере балки, в которой в качестве обобщенных перемещений приняты прогибы  и . Силы и связаны с ними соотношением (рис. 4.2, б)

.

Здесь, например, первый столбец матрицы R есть силы S, изображенные на рис. 4.2, a) как реакция в условных опорах при б1 = 1 и б2 = 0. Таким образом, элемент rij  матрицы R выражает влияние перемещения бj= 1 на обобщенную упругую силу Si, в общем случае равную

  .  (4.7)

               Подчеркнем, что понятие обобщенной силы имеет энергетическую природу и в общем случае величина Si  не обязательно представляет собой реальную силу, как это имело место в рассмотренной балке. Из формулы следует, что . Это равенство говорит лишь о том, что произведение Si на малое приращение должно быть равно изменению энергии деформации системы, численно равной работе всех сил упругости на деформациях системы, отвечающих перемещения . Следовательно, в общем случае,  Si может рассматриваться как некоторый условный силовой фактор, связанный с обобщенным перемещением указанным соотношением. В зависимости от вида  перемещения величина Si может быть истолкована как сила, момент и т. д. Энергия деформации системы U как работа обобщенных сил на