Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек (стр. 11 )

       Величина , равная сумме дополнительной энергии деформации тела и потенциала реактивных сил на поверхности , испытывающей принудительные перемещения, называется функционалом Кастильяно или дополнительной энергией деформируемого тела.

  Равенство (3.33) выражает принцип Кастильяно: истинные напряжения сообщают дополнительной энергии тела стационарное значение.

       В частном случае линейно-упругого тела и отсутствия заданных смещений , когда , имеем (рис. 3.9, б) и принцип Кастильяно получает вид

  .  (3.34)

Рис. 3.9

       

       Равенство (3.34) показывает, что для истинных напряжений (или внутренних усилий) линейно-упругая система имеет потенциальную энергию деформации стационарной (для устойчивого равновесия минимальной). Поскольку энергия численно равна работе внутренних сил, которая, в свою очередь, равна работе внешних сил деформированного тела, это положение часто называют принципом наименьшей работы.

  3.7.  Температурные напряжения

       Пусть во всем объеме тела, свободного от закреплений, температура изменяется на одинаковую величину . Это приводит к всестороннему увеличению (уменьшению) линейных размеров тела. При этом относительная величина линейной температурной деформации равна , где – коэффициент температурного расширения, численно равный величине относительного удлинения, вызванного изменением температуры на один градус. Такая свободная, ничем не стесненная температурная деформация не вызывает появления дополнительных напряжений в теле.

       Если изменение температуры неравномерно по объему или тело имеет соответствующие закрепления, то свободное температурное расширение одних частей тела будет стеснено взаимодействием с другими частями. В результате в теле появляются дополнительные температурные напряжения.

  Из курса сопротивления материалов известны приемы определения температурных напряжений в простейших статически неопределимых стержневых системах. Здесь покажем определение таких напряжений в более общих случаях.

       Формально изменение температуры тела вносит лишь изменение в запись закона Гука из числа основных уравнений теории упругости. Так, для плоского напряженного состояния он получит вид:

       в прямой форме

  ;

;  (3.35) 

       в обратной форме

  ;  ;,  (3.36)

где и .

       Все остальные уравнения теории упругости остаются без изменения. Поэтому температурная задача может решаться как обычная задача упругости, но с измененной записью закона Гука.

       Практически для того, чтобы можно было воспользоваться соответствующими готовыми разрешающими уравнениями (в напряжениях или в перемещениях), удобно бывает свести указанную температурную задачу к задаче о действии на тело некоторой дополнительной нагрузки. Рассуждаем при этом следующим образом. Пусть тело получило изменение температуры . Исключим на время его деформации (в плоскости – ), т. е. положим . Тогда из (3.36) найдем напряжения, возникшие в теле в первом состоянии:

  ;    (3.37)

Для того чтобы эти напряжения могли существовать в теле в общем случае, к нему должна быть приложена некоторая нагрузка. Из уравнений равновесия (2.3) найдем необходимую нагрузку:

    (3.38)

А из уравнений равновесия на поверхности тела

 

соответствующую поверхностную нагрузку:

    (3.39)

       Итак, при одновременном изменении температуры и приложении объемной (3.38) и поверхностной (3.39) нагрузок в теле возникает первая часть температурных напряжений (3.37) (первое состояние).

Рис. 3.10

Теперь снимем упомянутые нагрузки, т. е. приложим к нему те же нагрузки, но с обратным знаком. Решая на эти силовые воздействия обычную задачу теории упругости, получим вторую часть температурных напряжений: , , (второе состояние). Действительные полные температурные напряжения в теле будут представлены суммой первого и второго состояний:

  ; ; .  (3.40)

Полные перемещения , точек тела определяются второй частью решения (вторым состоянием).

       В качестве примера рассмотрим свободную от закреплений пластину (рис. 3.10, а). Пусть изменение температуры задано законом, симметричным относительно плоскости :

  .  (а)

Оно может быть вызвано, например, постепенным остыванием пластины за счет равномерного оттока теплоты через ее боковые поверхности . Так как зависит от координаты , то каждый элементарный столбик , , , выделенный из пластина, находится в одинаковых условиях и его деформации могут происходит свободно.

Напряжения первого состояния (3.37) при полном исключении деформации будут

  ; .  (б)

Отвечающая им объемная нагрузка (3.38) в данном случае равна нулю, так как функция не зависит от  и . Поверхностная нагрузка  и (3.39) предстанет в виде напряжений  (б), приложенных  к граням пластины , и, .