Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л. Г. ЕРЕМЕНКО

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НДС

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Учебное пособие

Ростов - на - Дону

2009

ББК  30.121

УДК  539. 3/.8

 

Е  Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек: учеб. Пособие  /  . – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2009. – 70 с.

  Рассмотрены основные уравнения теории упругости, математические модели стержневых систем, пластин и оболочек, приближенные методы решения краевых задач, вариационные формулировки задач теории упругости, универсальный метод решения краевых задач – метод конечных элементов. Показан порядок решения задач методом конечных элементов. Рекомендуется для студентов, обучающихся по специальности «Динамика и прочность машин», 150301.

  Печатается по решению редакционно-издательского совета Донского государственного технического университета.

  Научный редактор д. т.н., проф.

  ©, 2009 

©Издательский центрДГТУ,2009

  Введение

  В наш век с усложнением форм строительных конструкций, появлением авиастроения, разнообразными запросами машино­строения роль методов теории упругости резко изменилась. Теперь они составляют основу для построения практических методов расчета деформируемых тел и систем тел разнообразной формы. При этом в современных расчетах учитываются не только сложность формы тела и разнообразие воздействий (силовое, температурное и т. п.), но и специфика физических свойств материалов, из которых изготовле­ны тела. Дело в том, что в современных конструкциях наряду с традиционными материалами (сталь, дерево, бетон и т. д.) широкое применение получают новые материалы, в частности композиты, обладающие рядом специфических свойств. Так, армирование поли­меров волокнами из высокопрочных материалов позволяет получить новый легкий конструкционный материал, имеющий высокие проч­ностные свойства, превосходящие даже прочность современных сталей. Но наличие полимерной основы наделяет такой композитный материал помимо упругих вязкими свойствами, что обязательно должно учитываться в расчетах. Даже в традиционных материалах в связи с высоким уровнем нагружения, повышенными температу­рами возникает необходимость в учете пластических свойств. Все эти вопросы теперь составляют предмет механики деформируемого твердого тела.  Заметим, что использование достижений механики деформируе­мого твердого тела в инженерных расчетах неразрывно связано с возможностями применения современных ЭВМ. Поэтому в послед­ние годы в указанном разделе механики особенно большое развитие получили приближенные методы решения задач о деформировании твердых тел.

Сформулируем постановку задачи теории упругости и пластичности, а также основные допущения, на которых она базируется.

Рассмотрим тело заданной формы, материал которого имеет известные механические свойства. На тело действуют заданные на­грузки и наложены некоторые связи. Требуется определить напряже­ния, деформации и перемещения в теле.

При решении подобных задач будем считать справедливыми следу­ющие допущения:

Материал  тела  представляет  собой  сплошную  среду. Допущение  о сплошности  позволяет отвлечься  от реальной струк­туры данного материала (кристаллическая, зернистая) и рассматри­вать его как аморфный,  непрерывно заполняющий любой элемент объема  тела. Материал тела считается однородным. Это допущение означа­ет, что механические свойства в любой точке тела одинаковы. Допущения о сплошности и однородности приводят к тому, что внутренние силы представляются непрерывно распределенными по объему тела и для их описания можно использовать аппарат мате­матического анализа. Например, говоря о напряжениях, переходим к пределу отношения внутренних сил, действующих на некоторой площадке, к ее площади, стремящейся к нулю, что имеет смысл толь­ко для сплошной среды. Материал тела считается изотропным, т. е. его механические свойства в каждой точке одинаковы во всех направлениях. В против­ном случае материал называется анизотропным. В некоторых разде­лах  курса  делаются  отступления  от  этого  допущения,  что  будет оговариваться  особо. Деформации в точках тела (относительные удлинения ℰ и углы сдвига г) считаются малыми. Это допущение говорит о том, что под действием нагрузок размеры тела существенно не меняются.  Так, например,  относительное удлинение малого отрезка стержня дли­ной S, получившего удлинение △S, будет ℰ= △S/S. Это удлинение надо считать условным, так как приращение △S отнесено к первоначальному размеру S. Вычислим дифференциал «истинной» относительной деформации, относя приращение dS к  фактической  длине  отрезка  S + △S:

  dℰи = dS / (S + △S) = dS/S/ (1+ℰ)=dℰ / (1+ℰ).

  Разложив правую часть в степенной ряд, можно записать

  dℰи = - dℰ (1 - ℰ + ℰ2 - ℰ3 + …).

Отсюда следует, что при ℰ <= 1 имеем приближенное равенство dℰ≃ dℰи, и изменением абсолютных размеров тела, вызванным  его деформацией, можно пренебречь.

  Изучение курса начнем с рассмотрения основ теории упругости, где предполагается материал идеально упругим и линейно деформируемым (справедлив закон Гука). Задачи теории упругости решаются более просто по сравнению  с задачами пластичности и вязкоупругости. Кроме того, решение задач в предположении линейной деформируемости материала представляет во многих случаях самостоятельный практический интерес. Решение задач с учетом пластических и вязких свойств материала в значительной степени опирается на решение аналогичных задач теории упругости.

  Рассмотрим основные уравнения теории упругости. Познакомимся с вариационной постановкой задач теории упругости. Изучим некоторые приближенные методы решения линейных задач теории упругости.

  Глава 1. Теория напряженно-деформированного состояния в точке тела

  1.1 Нагрузки  и  напряжения.  Тензор  напряжений

  Рассмотрим произвольное тело с наложенными на него опорными связями, которое находится под действием поверхностных и объемных (массовых) нагрузок (рис. 1.1). Объемными нагрузками могут быть, например, собственный вес, инерционные силы, силы электромаг­нитного происхождения и т. д.

Поверхностные и массовые нагрузки характеризуются интенсивностями, которые в общем случае зависят от координат х, у, z и выра­жаются соответственно в Н/м2 (или Па) и Н/м3. Сосредоточенные внешние силы, приложенные в точках поверхности тела, можно рассматривать как предельный случай поверхностных нагрузок, распределенных  на  малой  части  поверхности  тела.

Проекции интенсивности поверхностной нагрузки на координат­ные оси обозначим рх, ру, pz, а проекции интенсивности массовой нагрузки — X, Y, Z. Проекция интенсивности внешней нагрузки считается положительной, если ее направление совпадает с направле­нием соответствующей координатной оси.  Под действием заданных нагрузок в теле появляются напряже­ния.  Вырежем из рассматриваемого тела элементарный параллелепи­пед, ребра которого параллельны координатным осям, а их длина равна dx, dy, dz (см. рис. 1.1).

  Вырежем из рассматриваемого тела элементарный параллелепи­пед, ребра которого параллельны координатным осям, а их длина равна dx, dy, dz (см. рис. 1.1). На гранях этого параллелепипеда дей­ствуют напряжения, которые можно разложить на нормальную составляющую к грани (нормальное напряжение) и касательную (касательное напряжение). В свою очередь, касательное напряжение можно разложить на две составляющие, параллельные координат­ным осям (рис. 1.2). В результате на каждой грани параллелепипеда действуют три напряжения (слово «составляющая» в дальнейшем для краткости будем опускать), которые обозначим ��хх, фху, фхz.  Первый индекс в обозначениях напряжений указывает ось, парал­лельно которой направлена внешняя нормаль к площадке, а второй индекс — ось, параллельно которой направлена составляющая напря­жения, т. е. первый индекс указывает площадку, на которой действует напряжение, а второй — его направление. Поскольку в обозначени­ях нормальных напряжений фигурируют два одинаковых индекса, обычно оставляют только один из них и пишут ��х,��у, ��z.

  Примем следующее правило знаков для напряжений: если внеш­няя нормаль к площадке имеет положительное (отрицательное) направление, то напряжение положительно, если его направление совпадает с положительным (отрицательным) направлением соответствующей координатной оси. В соответствии с приведенным правилом знаков положительные нормальные напряжения являются растягивающими, а отрицательные – сжимающими.

  Напряжения, так же, как и поверхностная нагрузка, выражаются в Н/м2 (Па).

  Одноименные и параллельные напряжения, действующие на параллельных гранях бесконечно малого параллелепипеда, отличаются друг от друга на бесконечно малую величину и потому их можно считать одинаковыми.

  Следовательно, на гранях параллелепипеда действуют три нормальных и шесть касательных напряжений, совокупность которых образуют тензор напряжений

  .

 

  Рис. 1.1

  В строках тензора содержатся напряжения, направление которых параллельно соответственно координатным осям x, y, z, а в столбцах – напряжения, действующие на площадке, нормаль к которой параллельна оси х, или у, или z.