Итак, 
. (3.14)
Но приращения работы внутренних 
и внешних сил 
с точностью до знака представляют приращения соответствующих потенциалов 
и 
. Поэтому 
, откуда следует, что для истинных перемещений 
изменение полной энергии 
, вызванное вариациями 
, должно быть равно нулю:
. (3.15)
Левая часть (3.15) в общем случае сложно зависит от приращения перемещений 
, поэтому представим ее виде суммы, в которой каждое слагаемое зависит от соответствующей степени 
:
(3.16)
Здесь первое слагаемое, линейно зависящее от 
, называется первой вариацией функционала 
, второе слагаемое есть вторая вариация 
и т. д. устремляя в (3.16) 
к нулю и отбрасывая все слагаемые, кроме первого, как бесконечно малые более высокого порядка малости, приходим к равенству
. (3.17)
Из курса математики известно, что равенство нулю первой вариации функционала (3.17) является необходимым условием локального экстремума этого функционала. Оно выражает тот факт, что в локальной зоне изменения функций-аргументов функционал с точностью до бесконечно малых первого порядка сохраняет неизменное (стационарное) значение.
Существует теорема Лежен – Дирихле, согласно которой:
при 
и 
полная энергия деформированного тела минимальна и его равновесие устойчиво;
при 
и 
эта энергия максимальна и равновесие системы внутренних и внешних сил неустойчиво:
при 
и 
энергия стационарна, а тело находится в состоянии безразличного равновесия.
Принцип вариации перемещений (принцип Лагранжа) может быть сформулирован так : для истинных перемещений 
, 
, 
функционал полной энергии деформированного тела имеет экстремальное (стационарное) значение, т. е. его первая вариация равна нулю (3.17).
Таким образом, при заданной нагрузке на тело надо найти такие функции 
, 
, 
, при которых выполняется условие 
. Тем самым будут найдены истинные перемещения тела и решена задача теории упругости (в перемещениях). В этом и состоит вариационная формулировка задачи теории упругости с помощью принципа Лагранжа. Механически оно в интегральной форме выражает условия равновесия деформированного тела.
3.4. Связь между вариационной и дифференциальной формулировками задач теории упругости
Эта связь в математике выражается в том, что каждой вариационной формулировке типа 
может быть поставлена в соответствие формулировка в форме дифференциальных уравнений относительно разыскиваемых функций 
, называемых уравнениями Эйлера для функционала 
. Покажем эту связь и процесс получения уравнений Эйлера на простом примере.
Запишем функционал полной энергии для балки, лежащей на винклеровом основании с коэффициентом жесткости 
(рис. 3.6):
. (3.18)
Здесь в выражении для энергии обычной балки (3.13) введены члены, учитывающие энергию деформации упругого основания с плотностью 
и энергию концевых нагрузок при 
и 
. Запись 
, означает 
.
Функционал (3.18)относится к виду
. (3.19)
Рис. 3.6
Операция варьирования аналогична операции дифференцирования. При получении вариации 
будем рассматривать выражение 
как сложную функцию от 
. В результате получим
. (3.20)
Здесь штрихом при 
отмечается частная производная выражения 
по аргументу, указанному в нижнем индексе. Условием 
в форме (3.20) пользоваться для определения 
неудобно, так как оно содержит не только произвольную функцию 
, но и ее производные. Поэтому преобразуем (3.20) так, чтобы из-под интегралов были исключены производные 
и 
. Для этого интегрируем второе слагаемое по частям один раз, а третье – два раза. В результате получим
(3.21)
Теперь из условия 
ввиду произвольности функции 
следует равенство нулю выражения в прямых скобках под интегралом, а именно:
. (3.22)
Кроме того, если при 
, 
перемещения 
и 
также произвольны, то должны быть равны нулю:
, 
. (3.23)
Равенство (3.22) и является дифференциальным уравнением Эйлера для функционала (3.19), а (3.23) – его граничными условиями.
Применительно к балке на упругом основании (3.18) имеем
; 
; 
. Тогда 
; 
; 
и уравнение (3.22) и условия (3.23) принимают вид:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
