Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек (стр. 14 )

Используя формулы Коши

    (4.22)

и выражение для поля перемещений в элементе (4.12), найдем

    (4.23)

  В кратком виде эти равенства запишем так:

  ,  (4.24)

где

  (4.25)

  Закон Гука в обратной форме  для плоского напряженного состояния дает соотношение

  ,  (4.26)

    (4.27)

  Следовательно,

    (4.28)

Учитывая, что , подставив (4.28) и (4.24) в (4.20), получим

  .  (4.29)

Подставив (4.29) в (4.19), приведем выражение для энергии деформаций элемента к виду

  .  (4.30)

  Перепишем (4.9), заменив старое обозначение обобщенных перемещений  на , используемое в МКЭ:

  .  (4.31)

  Сравнивая (4.29) и (4.30), можем записать общее выражение для матрицы жесткости, отвечающей вектору перемещений , в виде

    (4.32)

Штрих у R подчеркивает, что матрица жесткости получена в местной системе координат, связанной с элементами. Штрихи у x и y в этом параграфе опущены.

 

Рис. 4.6

  Для пластины толщиной д интеграл и вместо (4.32) можем написать

    (4.33)

где А – площадь элемента

  Интегрирование в этих формулах ведется поэлементно. Число элементов матрицы зависит от числа обобщенных перемещений . Чтобы проиллюстрировать это, построим матрицу жесткости в отношении двух перемещений и для элемента, показанного на рис. 4.6. Вектор имеет второй порядок:

    (4.34)

Матрица  В, переводящая вектор в вектор деформаций по (4.24), состоит из одного блока , что с учетом (4.11) дает

  .  (4.35)

Подставив (4.35) и (4.27) в (4.33), получим

.

После перемножения трех матриц под знаком интеграла придем к

  Рис. 4.7

симметричной матрице размера 2*2, интегрируя каждый элемент которой в  указанных пределах окончательно найдем

.

  Формула (4.33) носит общий характер, хотя и получена на примере плоской задачи. Чтобы ею воспользоваться, необходимо построить только две матрицы, а именно: матрицу закона Гука D, связывающую напряжения и деформации (или усилия и деформации), и матрицу В, которая позволяет перейти от перемещений к деформациям в элементе. Это иллюстрируется далее на примере задачи изгиба пластины.

  Рассмотрим прямоугольный конечный элемент изгибаемой пластины (рис. 4.7, а). В каждом узле примем за неизвестные три обобщенных перемещения: прогиб , два угла поворота нормали - и . Следовательно, полный вектор обобщенных перемещений элемента состоит из 12 компонент

(4.36)

и элемент имеет 12 степеней свободы. Выражение поверхности прогибов элемента зададим так, чтобы оно содержало 12 постоянных коэффициентов, например в виде следующего полинома:

Выражая параметры через перейдем к базисным функциям (функциям нормы) :

  .  (4.37)

 

  Рис. 4.8

Так, для узла А первые три базисные функции будут:

  (4,38)

где и - функции, выражающие линию прогибов защемленной по концам балки от единичного смещения или угла поворота заделки (рис. 4.7, в). Вид трех базисных функций изображен на рис. 4.8. Остальные функции в (4.37) строятся аналогично.

  Известно, что каждый элемент пластины испытывает три характерные деформации:    (4.39)

которым отвечают изгибающие и крутящие моменты

  (4.40)

Энергия деформации элемента пластины создается за счет деформаций (4.40), связанных с законом Гука

  ,  (4.41)

где

    (4.42)

- цилиндрическая жесткость пластины.

  Матрицу B, связывающую деформации и перемещения элемента, получим, подставляя (4.37) в (4.39):

  ,  (4.43)

где

.  (4.44)

  Подставляя D и В в формулу (4.33) и заменив в ней интегрирование по объему интегрированием по площади пластины, получим формулу для вычисления матрицы жесткости конечного элемента при изгибе:

  .  (4.45)

    4.3 Общая процедура расчета по МКЭ

  Проследим основные этапы использования МКЭ на конкретном примере расчета плоской конструкции, изображенной на рис. 4.9, а.

  На первом этапе выбирается расчетная схема и наносится сетка конечных элементов. На рис. 4.9, б показана рассматриваемая половина конструкции ввиду ее симметрии с выбранной сеткой квадратных элементов а = b = 20 см. Там же дана нумерация узлов и конечных элементов (в кружках). От нумерации узлов зависит структура матрицы системы уравнений, к которой сводится решение задачи. Матрица имеет ленточную структуру, схематически показанную на рис. 4.9, б.

  В заштрихованной ленте шириной 2М в каждой строке могут находиться ненулевые элементы, вне ее все элементы нулевые. Это связано с тем, что,  в уравнения равновесия узла входят лишь обобщенные силы, соответствующие элементам, примыкающим к этому узлу. Можно сказать, что данный узел непосредственно «взаимодействует» только с ближайшими окружающими его узлами.