(2.2)
Рис. 2.1
Функции тензора напряжений определяют непрерывное поле напряжений в объеме тела, и необходимо выяснить, каким условиям должны быть подчинены эти функции, чтобы каждый элемент тела в своем взаимодействии с соседними элементами был в равновесии.
Поэтому на рисунке 2.1, б) изображена уточненная картина действия напряжений на гранях параллелепипеда. Если на левой грани элемента, проходящей через рассматриваемую точку А, принять напряжение уx, то на правой грани, имеющей координату х + dx, функция уx получит приращение, равное частному дифференциалу этой функции по аргументу х, т. е. будет 
С учетом сказанного на рис.2.1, б показаны все компоненты напряжений, параллельные оси х.
Как и в § 1.1, предположим, что на тело действует некоторая объемная внешняя нагрузка, например его вес или сила инерции, компоненты интенсивности которой обозначаются X, Y, Z. Соответствующая элементарная сила в рассматриваемой точке получается как произведение интенсивности X, Y, Z на объем параллелепипеда dxdydz. Элементарные силы на поверхностях граней параллелепипеда получаем как произведение напряжений или их дифференциалов на площади граней. Учитывая, что силы учdydz, фyxdxdz и фzxdxdy на параллельных гранях взаимно уравновешены, сумму проекций на ось х всех сил, действующих на элемент (рис. 2.1, б), составим в виде
Сократив на dxdydz, получим первую строку из следующих трех дифференциальных уравнений равновесия:
(2.3)
Вторая и третья строки составлены аналогично первой и выражают равенство нулю сумм проекций на оси у и z.
Приравняем нулю сумму моментов сил, действующих на параллелепипед, относительно оси, проходящей через его центр параллельно оси z, получим
Отбросив последние два слагаемых, как бесконечно малые более высокого порядка и сокращая на dxdydz, получаем 
. Таким образом, в дополнение к (2.3) можем написать равенства, выражающие известный закон парности касательных напряжений:
(2.4)
Введем сокращенную запись уравнений (2.3), используя матричную форму представления систем уравнений. Обозначим вектор напряжений 
и вектор интенсивности объемной нагрузки 
(2.5)
Здесь и далее верхний индекс «т» обозначает транспонирование вектора, что позволяет для сокращения записать его не в столбец, а в строку. Уравнения (2.3) условно можно представить в виде:
(2.6) (1.6)
где матрица А состоит из элементов, выражающих соответствующие операторы дифференцирования:
(2.7) (1.7)
Сокращенной записью (2.6) будем пользоваться в дальнейшем вместо развернутого представления (2.3).
Три дифференциальных уравнения (2.3) содержат шесть неизвестных функций напряжений 
, которые, естественно, не могут быть однозначно определены путем интегрирования лишь уравнений равновесия. Поэтому далее потребуется дополнить эти уравнения другими (уравнениями деформаций и физическими уравнениями). В этом смысле говорят, что задача определения напряжений в деформируемом теле является статически неопределимой.
Интегрирование уравнений (2.3) дает бесконечное множество статически возможных полей напряжений Тн (х, у, z), т. е. напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия. Использование других упомянутых групп уравнений позволяет выделить из всех статически возможных истинное поле напряжений.
Сформулируем теперь условия на поверхности тела как граничные условия для дифференциальных уравнений (2.3). Они выражают равновесие между поверхностной нагрузкой
и напряжениями в произвольной точке поверхности тела. На рис. 2.2, а) показан элементарный тетраэдр, выделенный у поверхности тела сечениями, параллельными координатным плоскостям, и плоскостью, касательной к поверхности. Ориентацию последней определяет нормаль 
, направляющие косинусы которой обозначим:
Рис. 2.2
На рис. 2.2, б изображен тот же тетраэдр, что и на рисунке 1.3, но с указанием на его гранях компонент напряжений и интенсивности поверхностной нагрузки. Для простоты на чертеже показаны лишь компоненты, параллельные оси х. Там же указаны площади граней ldA, mdA, ndA, где dA— площадь его наклонной грани. Если теперь составить условия равновесия тетраэдра в виде сумм проекций на оси х, у и z, как это делалось в п.1.2 для точки внутри тела, получим уравнения, в которых компоненты полного напряжения на наклонной площадке 
надо соответственно заменить на компоненты поверхностной нагрузки рх, ру, pz, а именно:
(2.8)
В сокращенной записи условия на поверхности (2.8) представим виде
(2.9)
. (2.10)
2.2. Геометрические уравнения
Показано, что геометрическая деформация тела характеризуется двумя группами функций. Первая группа – это компоненты перемещений точек 
параллельные соответственно осям 
Для точки А такие перемещения показаны на рисунке 2.3. Условимся далее считать 
если они совпадают с положительным направлением соответствующей оси координат, и наоборот. Три функции
определяют поле перемещений деформируемого тела.
Рис. 2.3
Вторая группа – это относительные деформации элементарных параллелепипедов 
на которые мысленно можно расчленить тело. В каждой точке они составляют тензор деформаций:
,
шесть различных компонент которого как функции координат составляют тензор деформаций.
Геометрические уравнения устанавливают зависимости между перемещениями и деформациями. Для их вывода будем считать функции 
заданными, а через них выразим деформации.
Для определения деформации ех рассмотрим отрезок А В длиной dx (рис. 2.4). Для малых перемещений и деформаций примем, что на изменение длины отрезка влияет лишь перемещение u, а его малый наклон, в общем случае вызываемый перемещениями
, не изменяет его длины. Поэтому на рис. 2.4 изображено лишь поступательное перемещение отрезка. Обозначим 
- частный дифференциал (линейная часть приращения) функции u при изменении координаты х на х + dx. Из рис. 2.4 видно, что
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
